2個の区別のない箱に5個の区別のあるボールを入れると考えます この時区別のないボールを入れたとしても

2個の区別のない箱に5個の区別のあるボールを入れると考えます
この時区別のないボールを入れたとしても場合の数は変わらないらしいですが、なぜですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/17 00:30

そんなことはない。

ボールを区別する場合：
ボール #１ が入る箱を 箱A 、もうひとつの箱を 箱B と呼ぶとして、
ボール #2, #3, #4, #5 を 箱A と 箱Bに入れる入れ方は 2^4 = 16 通り。

ボールを区別しない場合：
箱に入れるボールの数の組み合わせは、
(0,5), (1,4), (2,3) の 3 通り。

変わるでしょう？

例えば、ボールを区別した { #1 }, { #2, #3, #4, #5 } という入れ方は
ボールを区別しないと (1,4) という分け方になるけれど、
{ #2 }, { #1, #3, #4, #5 } も
{ #3 }, { #1, #2, #4, #5 } も
{ #4 }, { #1, #2, #3, #5 } も
{ #5 }, { #1, #2, #3, #4 } も皆 (1,4) になるのだから、
ボールを区別する数え方のほうが圧倒的に場合の数は多くなる。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/08/17 19:04

No.3 回答者： teionmilk 回答日時： 2021/08/17 15:40

「2個の区別のない箱に5個の区別のあるボールを入れると考えます」

これはただの操作ですが、
ボールを入れて何を数えろというのでしょうか。

誤解している人が多いのですが、
操作だけで場合の数が決まることはありません。

まず「何を求めたいのか」があり、そのために、
どの場合の、何を、どう数えるかを選択し、
実際に数えた結果が場合の数です。

当然、数え方の選択は複数あることもあり、
ボールの区別のある、なしで、
場合の数が変わることも変わらないこともあります。

それも全て、「何を求めたいのか」次第、
どういう数え方を選択したか次第であり、
こういう重要な点を抜きに会話しても意味はありません。


言葉ではわかりにくいかもしれないので、例です。

・ボールの多く入った箱を選ぶ確率は？

ボールの区別の有無と関係なく
場合の数は箱の数で 2通り

確率は 1/2

・選んだ箱にボールが3個入っている確率は？

ボールの区別の有無と関係なく
場合の数はボールの数+1で 6通り

確率は 1/6

・2つの箱のボールの個数の差は何通りか？

ボールの区別の有無と関係なく
場合の数は 1,3,5 の 3通り

・5個のボールの2つの箱への分かれ方は何通りか？

ボールに区別が無ければ、
場合の数はボールの数/2で 3通り

ボールに区別があれば、
場合の数は 2⁵/2 で 16通り

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/17 10:29

そんなことはないです。

箱が空を許容する場合

箱もボールも区別が無いなら、個数でしか場合を区別できないから
(0, 5), (1, 4), (2, 3) の３通りしかない。

ボールを区別するならそれを A, B, C, D, E とすると
片方にA だけが入る場合 ４C0 = 1通り
片方にA とその他1個入る場合 ４C1 = 4通り
片方にA とその他2個入る場合 4C2 = 6通り
片方にA とその他3個入る場合 4C3 = 4通り
片方にA とその他4個入る場合 4C4 = 1通り
計16通り

列挙すると

A BCDE

AB CDE
AC BDE
AD BCE
AE BCD

ABC DE
ABD CE
ABE CD
ACD BE
ACE BD
ADE BC

ACDE B
ABDE C
ABCE D
ABCD E

ABCDE