母標準偏差の相対誤差について

統計に関する数学的背景を調べております。
正規分布に従うデータについて、母分散（σ^2）に対する推定量Vの標準相対誤差が以下の式で表せるとします。
D(V)/σ^2=√2/√(n-1)　　D(V)：推定量Vの標準偏差

この場合、母標準偏差（σ）に対する推定量√Vの標準相対誤差はどのように表せるでしょうか？
推測ですが以下の式で表せるのではないかと考えているのですが、正しいでしょうか？
D(√V)/σ=1/2・√2/√(n-1)　

ご存知の方がいましたら、教えていただけないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/03/18 21:36

正しくありません。

母分散の不偏推定量は簡単に計算でき、それは不偏分散と言われますが、
その不偏分散の平方根（俗にいう標準偏差）は、母標準偏差の不偏推定量ではない。その誤差はどれだけあるか（というかそれらの比はいくらか）。

を問われていますか。

母標準偏差の不偏推定量は、数表を使った不偏化補正というものもありますが、ガンマ関数を用いてExactに解くことができ、ご質問者の得たい比率も計算できます。

n=2のときに、σ/√V=1.253
n=3のときに、σ/√V=1.128

となり、「不偏分散の平方根（俗称標準偏差）」は実際より小さめになっているのです。
ご質問の式は、計算したところ大幅に異なる値を示しました。

参考文献
吉澤康和（1989）「新しい誤差論　実験データ解析法」，共立出版，p79

この本には、不偏標準偏差のExactな導出過程と、上記の数値の表も併せて出ています。

この回答へのお礼

ありがとうございました。大変参考になりました。ご紹介いただいた本を読んでみます。

お礼日時：2022/03/18 21:58

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/03/19 08:24

#6様、

早とちりして、すみませんでした。

No.6 回答者： qas2021 回答日時： 2022/03/19 07:53

#3さん

> #1さんの式も、Rで計算してみたけど、違うような・・・。

私が記載したのは(√V)/σの標準偏差であって期待値ではないので、値が異なるのは当然です。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/03/19 01:26

ご質問者の示されている「比」は、不偏化補正の数値のうち、「c4補正」に使われる「c4」という値ですね。

一方、私の示した（かのテキストに書いてある）値、
n=2のときに、σ/√V=1.253
n=3のときに、σ/√V=1.128
は、「1/c4」ですね。

不偏化補正には他にも「d2」とか色々あります。調べてみると面白いですよ。

私が従事する工業界においては、管理図は１日４点抜き取ってプロットしています。そのとき、本来のばらつきより小さめに評価されてしまうので、そを避けるため、不偏化補正が行われます。

抜き取りのｎ数が小さい時は、最大ー最小、つまりレンジRを使って、R/d2 で標準偏差を求める方が正確だと言われています。管理図ではこの方法が使われます。

この回答へのお礼

色々と情報提供いただきありがとうございます。参考になりました。

お礼日時：2022/03/19 08:26

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/03/18 22:01

他の方のあら捜しでは礼を欠くので、自分の式を書きます。

x <- sqrt((n - 1) / 2) * gamma((n - 1) / 2) / gamma(n / 2)

という式になります。計算してみたところ、数値は合っていました。

ただ、数値はご質問中の比の逆数になります。

n=2のときに、σ/√V=1.253
n=3のときに、σ/√V=1.128
・
・
・
という値です。

以下、実際の計算結果です。

2 1.2533141373155
3 1.12837916709551
4 1.0854018818374
5 1.06384608107049
6 1.05093585307461
7 1.0423520253929
8 1.03623672561821
9 1.03166095277304
10 1.02810925326662
11 1.02527289783676
12 1.02295579097336
13 1.0210274431707
14 1.01939767309374
15 1.01800217002272
16 1.01679384336718
17 1.01573742379131
18 1.01480597471438
19 1.01397856978982
20 1.01323870586449

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/03/18 21:48

#1さんの式も、Rで計算してみたけど、違うような・・・。

x <- sqrt(1 - (2 / (n - 1)) * gamma(n / 2)^2 / gamma((n - 1) / 2)^2)

で合っていますか？

No.1 回答者： qas2021 回答日時： 2022/03/18 20:55

Vは標本の大きさが n - 1 の標本の不偏分散であるとします。

√V = {σ/√(n - 1)}√{(n - 1)V/σ^2}

√{(n - 1)V/σ^2} は自由度 n - 1 のカイ分布に従うので、分散は
n - 1 - 2Γ(n/2)^2/Γ((n - 1)/2)^2
となります。
参考：Chi distribution (Wikipedia)
https://en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution

従って、
D(√V)/σ = {1/√(n - 1)}√{n - 1 - 2Γ(n/2)^2/Γ((n - 1)/2)^2
}
= √{1 - (2/(n - 1))Γ(n/2)^2/Γ((n - 1)/2)^2
}

この回答へのお礼

ありがとうございました。参考にさせていただきます。

お礼日時：2022/03/18 21:20