近似値をマクローリン展開を用いて少数第四位まで求めよという問題です。

近似値をマクローリン展開を用いて少数第四位まで求めよという問題です。
(1)1/5.001
(2)√(4.03)
何をxとおいてマクローリン展開して、剰余項Rn<0.00005となるnをどうやったら求めることができますか？

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/04 11:07

訂正：

第 n 剰余項の絶対値 < 0.00005 とするためには、
第 n+1 項の絶対値 < 0.00005 となる
n を探せばよいことになる。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/03 23:47

毎度言っているが、誤差評価なしでは近似計算は意味を持たない。

真値を知っていて結果的に何桁目まで合ってた…　というのは、
誤差評価ではないから、勘違いしないように。
本来、近似計算は、真値が解らないから行うのだから。

(1) に等比級数 1/(5+0.01) = (1/5)/{1-(-0.01/5)}
= (1/5) +(1/5)(-0.01/5) +(1/5)(-0.01/5)^2 + …
を使う際も、
(2) にテーラー展開 (4+0.03)^(1/2)
= 4^(1/2) +(1/2)4^(-1/2)(0.03)/1 +(-1/4)4^(-3/2)(0.03)^2/2 + …
を使う際も、

右辺に現われるべき級数は、交代減少級数だから、
打ち切り誤差は、打ち切った最初の項の絶対値より小さい。
第 n 剰余項 < 0.00005 とするためには、第 n+1 項 < 0.00005 となる
n を探せばよいことになる。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/03 23:09

(1)

f(x)=1/(5+x)
=1/5-x/25+x^2/125+...
f(0.001)=0.19996...
f0(0.001)=1/5=0.02
f1(0.001)=1/5-0.001/25=0.199959...
小数第4位まで一致
n=1

(2)
f(x)=√(4+x)
=2+x/4-x^2/64+...
f(0.03)=2.00748...
f1(0.03)=2.0075
f2(0.03)=2.00748...
小数第4位まで一致
n=2