比 単位について

例えば、10cmと1mを比で表すとき、そのまま10：1とせずに、単位を揃えてから1：10と表しますが、比例式では
なぜ単位を揃えなくてもよいのでしょうか。
縮図の問題では単位を揃えずに、cm：kmで計算しますが、なぜそうして良いのですか？

質問者からの補足コメント

• 例えば、地図上では1.5cmで、実際の長さが200kmの地図がある。地図上で4.2cmの時、実際の長さは何kmか。
  というもんだいでは、1.5：200=4.2：xという式をたてますが、cm：km=cm：kmのように、cmとkmでくらべてよいのはなぜですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/09 19:33

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2022/07/09 21:03

NO1 です。

4.2cm は 1.5cm の 2.8倍ですから、
200km の 2.8倍の 560km になります。
つまり cm と km の 比を考えている訳では無く、
cm 同士、km同士で 比を考えているのです。

＞1.5：200=4.2：xという式をたてますが、

計算上は 同じことになりますが、式としては
1.5 : 4.2=200 : x でなければ なりません。
比の値で見ると 1.5cm:4.2cm → 1.5cm/4.2cm=1/2.8 。
200km:x km → 200km/x km=200/x で、
単位は関係なくなります。

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2022/07/09 21:02

簡単に言えば、単位を揃えても約分されて同じ結果になるからです。

例えば1mの棒と10cmの棒の長さの比と、10mの棒とxcmの棒の長さの比が同じだったとしましょう。単位をmに揃えると

1:10×(1/100)=10:(1/100)x

となりますが

a:b=c:d

の時に

ad=bc

となると言う公式で書き直すと

1×(1/100)x=10×(1/100)×10

=1×x=10×10

そして単位を揃えずに作った比は

1:10=10:x

=1×x=10×10

となって、単位を揃えて計算した比の値と全く同じになります。つまり単位を揃えて比を作っても、揃えるためにかけた数が約分で消えるので揃えずに書いても同じ事になるわけです。

No.5 回答者： m-jiro 回答日時： 2022/07/09 20:57

数値だけで計算しようとするからわからなくなる。

数値に単位を付けて計算する。
1.5cm：200km ＝ 4.2cm：x　　と書く。
変形すると、
X ＝ 200km × 4.2cm ÷ 1.5cm
右辺の　cm ÷ cm ＝ 1　となるので消えてしまい、kmだけになる。
X ＝ 200km × 4.2 ÷ 1.5
数値部分を計算して 560、これに残った km をくっつけて
X ＝ 560km

私も高校の頃、物理や化学の計算でこけました。
数学では「長さ3」「面積5」といった感じで単位はありません。ところが実用数学ではm（メートル）とか、g（グラム）といった単位が必ず付く。そこで数値には単位を付けたままで計算したのです。これがうまく行ったんです。
たとえば、
Kg÷g ならg（グラム）が消えてK（キロ）だけになる。Kは都合によって ×1000 に書き換える。
「幅3mm、長さ2kmの面積は？」と聞かれれば普通はまず桁を揃えますが私はいきなり　3mm × 2km　と書きます。
m（ミリ）× K（キロ）はどちらも消えますね。残りは数値の6とm（メートル）が2つなので 6m² となります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/09 20:08

前回質問の回答に

1.5：200=4.2：x と 1.5：4.2＝200:x は同じ比例式だ
と書きました。 四角い表にして考えてみましたか？
1.5：4.2＝200:x が cm:cm=km:km で正当化されるなら、
それと同じ比例式である 1.5：200=4.2：x も正しいのです。
この考え方で、単位a:単位ｂ=単位a:単位b の形の式は認められます。

前回、誰かが
1.5：200=4.2：x は 1.5/200=4.2/x と同じだ
と書いていました。 割り算の式で考えると、
1.5/200=4.2/x は両辺の単位が cm/km でそろっている
ので問題ありません。

この考え方では、単位は更に自由に扱えて、
m:kg = μm:g のようなものでも許されることになります。

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2022/07/09 19:42

＞1.5：200=4.2：xという式をたてますが～

それ、間違ってるぞ。
　1.5：4.2＝200：ｘ
こうしなきゃ意味が通らない。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/09 19:33

「式をかくときに単位をすべて捨て去ってしまう」のが根本原因なので, 単位をつけたままで式にすればいい. それだけのこと.

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2022/07/09 19:05

単位は 揃えないと 比の計算は 出来ない筈です。

縮図の問題とは 縮尺した長さが 2倍になれば、
元の長さも 2倍になりますから、単位は関係なくなります。
そういう問題ならば、単位を揃える必要が無い と云う事では。
具体例を書いてくれると 違った説明が出来るかも。