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こんにちは、中学3年生です。
数学の問題で分からない箇所があります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーー
Aさんは、町Pから町Qのちょうど半分のところまで、平均時速60キロで走行した。
Aさんは、町Pから町Qまでの平均速度を時速80キロにしたい。
町Qまでの平均速度は時速何キロかを答えよ。

ーーーーーーーーーーーーーーーーー
という問題があります。
私は、後半の平均速度をxとおいて、

60+x/2=80
60+x=80×2
60+x=160
x=160ー60
x=100

∴時速100キロ

と解いたのですが、不正解で、
正しい回答は時速120キロでした。

何故こうなるのでしょうか?

解説よろしくお願いします。

A 回答 (7件)

「平均速度」って、速度の平均じゃなくて


総距離を総所要時間で割ったもののことなんだよね。
これは知ってないと、問題文が読めない。

前半の所要時間が ( (PQ間の距離)/2 )/(60km/時) だから、
平均速度が 80km/時 になるためには
総所要時間が (PQ間の距離)/(80km/時) で
後半の所要時間は (PQ間の距離)/(80km/時) - ( (PQ間の距離)/2 )/(60km/時)。
すると、後半の速度は
( (PQ間の距離)/2 )/(後半の所要時間)
= ( (PQ間の距離)/2 )/( (PQ間の距離)/(80km/時) - ( (PQ間の距離)/2 )/(60km/時) )
= ( 1/2 )/( 1/(80km/時) - ( 1/2 )/(60km/時) )
= 120km/時.

式を整理する経過で、結果的に
( 1/(前半の速度) + 1/(後半の速度) )/2 = 1/(平均速度)
になるんだけど、こんなもん覚えたってしかたがないしね。
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。回答ありがとうございます。
「平均速度」は速度の平均のことではないのですね。勉強になりました。

お礼日時:2022/09/05 06:17

具体的な距離はなくてもとけるのだが、


具体的な距離を使って計算すればあなたの誤りはすぐわかる。
PQ間の距離を240 kmとしよう。
平均時速 80 km/h なら 3時間だ。

半分の120 km までを60 km/hで進めば
2時間かかる。
残りは120 kmで残り時間は1時間だから
後半は 平均120 km/h
ですすまないと間に合わないのは明らかだ。

もし前半40 km/hならどうなるだろう?
半分で3時間使ってしまうから
後半はどんなに急いでも平均 80 km/h
は不可能。

つまり、前半と後半の速度の平均が
全体の平均速度になるという
あなたの思い込みは間違いなのだ。

因みにこれは、小学校高学年で習う
旅人算の基本事項だ。

中学生風にとくには
PQ間の距離を2L として
L/60 + L/V=2L/80
→L/120=L/V
→V=120 km/h

というように
全行程の時間=各行程の時間の和=全行程の距離/全行程の平均速度
という基本を外さぬようにとかないと駄目。
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。詳しい回答ありがとうございます!

お礼日時:2022/09/05 06:18

考え方として、仮に 町Pから町Qの 距離を 240km としてみます。


半分を 時速 60km で移動したのですから 120÷60=2 で2時間。
平均時速を 80km にしたいのですから 全部の移動時間は 3時間。
従って、残りの半分 120km を 1時間で移動しなければなりません。
つまり 残りの 半分は 時速 120km で移動することになりますね。
式を作るには 所要時間で 考えた方が 良いと思いますよ。
(時間)=(距離)÷(速さ) です。
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。回答ありがとうございます!

お礼日時:2022/09/05 06:18

後半は前半より短い時間で進むので、平均速度は各時間の平均なので前半の平均に近くなる。



距離をYとする、時間計算ですが
Y/2/60+Y/2/X=Y/80
仮に距離を240kmと仮定すると
2+120/X=3
ゆえに120/X=1
ゆえにX=120
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。回答ありがとうございます。

お礼日時:2022/09/05 06:16

その問題は、本当にそう書かれていますか?


オリジナルどおりの問題文ですか?

****************

Aさんは、町Pから町Qのちょうど半分のところまで、平均時速60キロで走行した。
Aさんは、町Pから町Qまでの『全体を』平均速度を時速80キロ『で通過してきたこと』にしたい。
『ちょうど半分の地点から』町Qまでの『残りの道のりを』平均『(この部分を削除)×速度は×』時速何キロ『で走る必要がある』かを答えよ。

*****************

のような問題ではありませんか?

問題を解く以前に、「問題を正しく把握する」ことが不可欠です。

ここでは、何を未知数においてもよいですが、通常は「町Pから町Qまでの道のり」を L [km] として

・道のりの半分、つまり L/2 [km] を 60 [km/h] で走った。
 従って、所要時間は
  T1 = L/2 [km] ÷ 60 [km/h] = L/120 [h]

・道のり L [km] を平均時速 80 km/h で走るときの所要時間は
  T2 = L [km] ÷ 80 [km/h] = L/80 [h]

・ということは、残り時間は
  T2 - T1 = L/80 - L/120 = L/240 [h]
なので、残る道のり L/2 [km] をこの時間で走り抜けなければならない。
その速さは
  (L/2 [km]) ÷ (L/240 [h]) = 120 [km/h]

(終わり)

あなたの解き方を点検してみると

>私は、後半の平均速度をxとおいて、

x [km/h] ということですね。

>60+x/2=80

この式の意味は何?

 60 [km/h] + (x [km/h] /2) = 80 [km/h]

ということだけど、何で「後半の平均速度 x [km/h]」を 1/2 にしているのかな?
なんで「後半の速さの 1/2」が出てくるのかな?

>60+x=80×2

これを見ると、上の式は

 (60 [km/h] + x [km/h]) /2 = 80 [km/h]

ということかな?
速さを足し合わせてどうする? 何のために足し合わせる?
「60 + x [km/h」で走った区間なんてあるの?

どういう考え方でその式を立てたのか、を書かなければ、あなたが何を考えたのかさっぱり分かりません。
質問をするなら、「こう考えてこの式を立てた」「これを求めるためにこうした」というような説明を書いてください。
そうすれば、どこを間違えたのか指摘できます。
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。
実は、問題文が英語で書かれており、しっかりと問題文を理解できていなかったのだと思います。また、「平均速度」の理解が足りていなかったようで...。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2022/09/05 06:14

60+x/2=80



この式はどんな意味で
作ったのですか?
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみませんでした。なんとなく平均を求めるときの公式に当てはめたらよいのかな、と思いこの式を立てたのですが、「平均速度」は速度の平均ではないということをしっかり理解していませんでした。
回答ありがとうございます。

お礼日時:2022/09/05 06:16

PQ=x, 中間からQまでの速度をv



x/(2・60)+x/2v=x/80
→ 1/v=1/40-1/60=20/2400=1/120
→ v=120
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみませんでした。回答ありがとうございます。

お礼日時:2022/09/05 06:14

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