不完全定理により、「ある命題が証明も否定もできなかったら、真理である場合がある。」と解釈してよろしい

青野由利より引用します。
＜ペンローズの考えをはしょって言えば、
（１）ゲーデルの不完全定理により、真理ではあるが、証明も否定もできない数学的な命題があることがわかっている。＞

上の説明は、以下のように解釈してよろしいですか？
ある命題が証明されたら、それは真理である。
ある命題が否定されたら、それは真理でない。
ある命題が証明も否定もできなかったら、真理である場合がある。

No.4 ベストアンサー 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/02 11:13

数学で言う「真」とはそういう事じゃ無いですよ。

数学は自然科学では無くて形式科学です。
定義と公準を出発点に定め、それだけを元に命題を証明し、証明出来たら「真」、否定できたら「偽」です。

証明されたのだから「真」
否定が証明されたのだから「偽」
証明も否定もできなかったら、その形式体系では証明不可、と言ってるだけ。
つまり、その定義と公準からなる形式体系内では扱えない命題と言う事です。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
＜証明も否定もできなかったら、その形式体系では証明不可、と言ってるだけ。
つまり、その定義と公準からなる形式体系内では扱えない命題と言う事です。＞
私の頭では、分かりそうで分からないことですね。

お礼日時：2024/05/02 17:11

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/03 10:27

数学における「真理」ってそもそもなんだ?

「真 (なる命題)」や「偽 (である命題)」というものはきちんと解釈できるのだが, 「真理 (である命題)」ってどこで誰が定義してるんだろう.

この回答へのお礼

早速のご解答ありがとうございます。
私の頭では、真理という根源的なことから逃避せざるをえません。

お礼日時：2024/05/03 12:11

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/02 20:10

>>私の頭では、分かりそうで分からないことですね。

数学とは何か、とか、形式体系とは何かを一度学んだ方が良いと思う。
難しくは無いから。中学生でも解る。

自然界(物理や化学、宇宙論）での真と数学の真は全く別物。
不完全性定理アレンジ版を以下に示すから、ジックリと読んで下さい。

「この命題自身は証明不可脳である」
「」命題を証明出来たとすると、命題通り不可能。
「」命題の否定が証明出来たとすると、命題が言ってる通りなので証明出来た事になる。

この言葉のアヤみないなのを、数学的に正しくやってるのが不完全性定理。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/05/03 09:48

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/05/02 17:20

ご質問の文脈における「証明」や「真理」という語は専門用語で、日常において感覚的に（すなわち、その意味を深く突き詰めてある訳でもないくせに）口走る語とは意味が異なる。

そもそもどんな「理論」(これも専門用語）における「証明」や「真理」の話なのかを指定しないと、意味をなさない。特に、現実の世界に関する物理学的な真理、という話とはまるで関係がないことにご注意。
　実のところ、ものすごく難しい深遠な話、というわけでもないんです。けれども、他人に正確に説明するのは（段階を踏まねばならんので）かなーり大変である。そういう事情ですから、半知半解でアテズッポの想像を巡らせているよりも、腹を括ってキッチリ勉強した方がいいと思うなあ。どうせなら、歴史に沿って、まずはヒルベルトの「幾何学基礎論」をザッと眺めて「形式主義」の感覚を掴んだ上で、ゲーデル自身の「不完全性定理」 (岩波文庫）を読んでみて、それから改めて計算理論（計算可能性の理論）、数学基礎論（集合論の基礎論）、形式論理学なんかををぼちぼち学ぶと、体系的な理解が深まっていくと思います。副読本にはスマリヤンが良いかな。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/03 09:47

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/02 11:13

[1] ある命題が証明されたら、それは真理である。

[2] ある命題が否定されたら、それは真理でない。
[3] ある命題が証明も否定もできなかったら、真理である場合がある。

(1) の意味は、[3] です。
数学云々というより、日本語的にほぼ同じ文ですよね。

[1][2] の内容は、(1) には含まれませんが、
(1) の議論の前提として仮定するものです。
お読みになった本のページをめくって、
「無矛盾性」とか「証明系が矛盾を含まなければ」などの
文言の前後を読み返してみましょう。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
そうですか。

お礼日時：2024/05/02 17:08

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/02 09:58

たとえば、数学的帰納法、選択公理はこれを追加したほうが

実り多いので、公理として追加されているようです。
重ねて素人なので・・・

この回答へのお礼

再度のご回答ありがとうございます。
そうですか。

お礼日時：2024/05/02 17:08

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/02 09:48

真理の意味がちょっと不明ですがそれでよいと思います。

素人なので申し訳ないですが。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
大目に見れば＜それでよい＞のですね。

お礼日時：2024/05/02 09:51