ライプニッツ記法2

Question

なんでこんなに意味わかりませんか？？
だれが考えたの？？

mtrajcp · Accepted Answer

画像の通り

ありものがたり · Answer

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13856440.html の続きですね。
今回は、他変数の置換なので、より一般的なチェインルール
∂u/∂x = (∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x) + (∂u/∂η)(∂η/∂x)
を使います。でも、使うのは、これダケです。

ξ = x - vt, η = x + vt より
∂ξ/∂x = 1, ∂ξ/∂t = -v, ∂η/∂x = 1, ∂η/∂t = v なので、
 
∂u/∂x = (∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x) + (∂u/∂η)(∂η/∂x)
　　= (∂u/∂ξ)1 + (∂u/∂η)1
　　= ∂u/∂ξ + ∂u/∂η,
∂u/∂t = (∂u/∂ξ)(∂ξ/∂t) + (∂u/∂η)(∂η/∂t)
　　= (∂u/∂ξ)(-v) + (∂u/∂η)v
　　= -v(∂u/∂ξ) + v(∂u/∂η),
∂²u/∂x² = (∂/∂x)(∂u/∂x)
　　= (∂/∂x){ ∂u/∂ξ + ∂u/∂η }
　　= ∂(∂u/∂ξ)/∂x + ∂(∂u/∂η)/∂x
　　= { (∂(∂u/∂ξ)/∂ξ)(∂ξ/∂x) + (∂(∂u/∂ξ)/∂η)(∂η/∂x) }
　　　+ { (∂(∂u/∂η)/∂ξ)(∂ξ/∂x) + (∂(∂u/∂η)/∂η)(∂η/∂x) }　
　　= { (∂²u/∂ξ²)1 + (∂²u/∂ξ∂η)1 }
　　　+ { (∂²u/∂η∂ξ)１ + (∂²u/∂η²)1 }
　　= (∂²u/∂ξ²) + 2(∂²u/∂ξ∂η) + (∂²u/∂η²),
∂²u/∂t² = (∂/∂t)(∂u/∂t)
　　= (∂/∂t){ -v(∂u/∂ξ) + v(∂u/∂η) }
　　= -v∂(∂u/∂ξ)/∂t + v∂(∂u/∂η)/∂t
　　= -v{ (∂(∂u/∂ξ)/∂ξ)(∂ξ/∂t) + (∂(∂u/∂ξ)/∂η)(∂η/∂t) }
　　　+ v{ (∂(∂u/∂η)/∂ξ)(∂ξ/∂t) + (∂(∂u/∂η)/∂η)(∂η/∂t) }　
　　= -v{ (∂²u/∂ξ²)(-v) + (∂²u/∂ξ∂η)v }
　　　+ v{ (∂²u/∂η∂ξ)(-v) + (∂²u/∂η²)v }
　　= v²(∂²u/∂ξ²) - 2v²(∂²u/∂ξ∂η) + v²(∂²u/∂η²).
普通に微分しただけです。

写真は u( , ) と w( , ) を異なる関数と見て別の文字で書いていますが、
u = u(t,x) = w(ξ,η) を共通の従属変数と見て同じ文字で書いたほうが
読みやすいと思い、そうしました。

また、問題文は説明不足ですが、 u( , ) と w( , ) は十分なめらかと仮定して
∂²u/∂ξ∂η = ∂²u/∂η∂ξ として扱っています。

Tacosan · Answer

矛盾があるのは問題だけど「不非合理性を含んでる」のは問題ないのではないかなぁ....

ところであなたのいう「矛盾」ってどういうこと? 「何がどうである」ことと「何がどうである」こととが矛盾する, と主張しているのか?

finalbento · Answer

そもそも記法で一番大事な事が「分かりやすさ」のはずだと思いますが。

それにライプニッツ記法は例えば「時間dtの間に進んだ距離がdsの時の速度がds/dt」と言う具合に微分の本質を簡潔かつ矛盾なく表している優れた記法だと思っています。

finalbento · Answer

ライプニッツ記法って言うぐらいですからライプニッツのはずです。

そもそもライプニッツ記法って「何を何で微分するか」を明記するわけですから、高校の数学でよく使うy'などよりずっと分かりやすいはずです。

ライプニッツ記法2

画像の通り

矛盾があるのは問題だけど「不非合理性を含んでる」のは問題ないのではないかなぁ....

そもそも記法で一番大事な事が「分かりやすさ」のはずだと思いますが。

ライプニッツ記法って言うぐらいですからライプニッツのはずです。

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