ライプニッツ記法2

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質問者：ゆゆにゃ。
質問日時：2024/07/03 18:41
回答数：5件

なんでこんなに意味わかりませんか？？
だれが考えたの？？

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回答 (5件)

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No.4ベストアンサー

回答者： mtrajcp
回答日時：2024/07/03 22:34

画像の通り

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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます～いつもおあこして
くれるからすごい見やすいです(T_T)

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お礼日時：2024/07/04 09:39

No.5

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/07/03 23:07

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13856440.html の続きですね。
今回は、他変数の置換なので、より一般的なチェインルール
∂u/∂x = (∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x) + (∂u/∂η)(∂η/∂x)
を使います。でも、使うのは、これダケです。

ξ = x - vt, η = x + vt より
∂ξ/∂x = 1, ∂ξ/∂t = -v, ∂η/∂x = 1, ∂η/∂t = v なので、

∂u/∂x = (∂u/∂ξ)(∂ξ/∂x) + (∂u/∂η)(∂η/∂x)
　　= (∂u/∂ξ)1 + (∂u/∂η)1
　　= ∂u/∂ξ + ∂u/∂η,
∂u/∂t = (∂u/∂ξ)(∂ξ/∂t) + (∂u/∂η)(∂η/∂t)
　　= (∂u/∂ξ)(-v) + (∂u/∂η)v
　　= -v(∂u/∂ξ) + v(∂u/∂η),
∂²u/∂x² = (∂/∂x)(∂u/∂x)
　　= (∂/∂x){ ∂u/∂ξ + ∂u/∂η }
　　= ∂(∂u/∂ξ)/∂x + ∂(∂u/∂η)/∂x
　　= { (∂(∂u/∂ξ)/∂ξ)(∂ξ/∂x) + (∂(∂u/∂ξ)/∂η)(∂η/∂x) }
　　　+ { (∂(∂u/∂η)/∂ξ)(∂ξ/∂x) + (∂(∂u/∂η)/∂η)(∂η/∂x) }　
　　= { (∂²u/∂ξ²)1 + (∂²u/∂ξ∂η)1 }
　　　+ { (∂²u/∂η∂ξ)１ + (∂²u/∂η²)1 }
　　= (∂²u/∂ξ²) + 2(∂²u/∂ξ∂η) + (∂²u/∂η²),
∂²u/∂t² = (∂/∂t)(∂u/∂t)
　　= (∂/∂t){ -v(∂u/∂ξ) + v(∂u/∂η) }
　　= -v∂(∂u/∂ξ)/∂t + v∂(∂u/∂η)/∂t
　　= -v{ (∂(∂u/∂ξ)/∂ξ)(∂ξ/∂t) + (∂(∂u/∂ξ)/∂η)(∂η/∂t) }
　　　+ v{ (∂(∂u/∂η)/∂ξ)(∂ξ/∂t) + (∂(∂u/∂η)/∂η)(∂η/∂t) }　
　　= -v{ (∂²u/∂ξ²)(-v) + (∂²u/∂ξ∂η)v }
　　　+ v{ (∂²u/∂η∂ξ)(-v) + (∂²u/∂η²)v }
　　= v²(∂²u/∂ξ²) - 2v²(∂²u/∂ξ∂η) + v²(∂²u/∂η²).
普通に微分しただけです。

写真は u( , ) と w( , ) を異なる関数と見て別の文字で書いていますが、
u = u(t,x) = w(ξ,η) を共通の従属変数と見て同じ文字で書いたほうが
読みやすいと思い、そうしました。

また、問題文は説明不足ですが、 u( , ) と w( , ) は十分なめらかと仮定して
∂²u/∂ξ∂η = ∂²u/∂η∂ξ として扱っています。