確率統計

標準正規分布における確率P(0≦Z≦z)をu(z)と表しますが、"u"は何のイニシャルでしょうか？由来をお教えください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/19 20:14

単なる「変数を表す記号」として使っているだけでしょう。

しいて言えば
　P(-z ≦ Z ≦ z)
（P は「確率」Probability の頭文字）
が平均値を中心に左右対称の面積であるのに対して
　u(z) = P(0 ≦ Z ≦ z)
という「上半分」ですから
「Upper half」「Upper Area」
などの「Upper」の頭文字でしょうか。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/09/20 11:24

No.2です。

お詫びです。

統計ソフトRにおけるp，qの使い方は逆でした。すみません。
Rの標準正規分布関係の関数とその返り値は以下のとおりでした。

> qnorm(0.975)・・・累積97.5％点は何σか？
[1] 1.959964・・・・・結果は1.96σ

> pnorm(1.96)・・・横軸1.96σ点は全体の何％か？
[1] 0.9750021・・・・結果は97.5％

このように、pの関数が累積確率を返します（恥）。
ちなみに、密度関数はdでした。densityですね。

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ご質問の関数は、平均値０より上側の確率（＝密度グラフの面積）のみを対象としていますね。

よって、No.1様の提示された「upper area」を支持します。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/09/20 02:03

No.2です。

＞ 標準正規分布における確率P(0≦Z≦z)をu(z)と表します

最大値の関数だから、uは累積密度ですね。たぶん。
z=1.96なら、両側で95％だから、u(1.96)＝0.475。

累積の場合、普通はq()、Q-sum ＝ cumulative sum を使いますね。
統計ソフトRでは、密度関数はp、累積関数はqが使われています。

uと「累積」、何の関係があるのかしらん。
やはり、No.1様のご指摘どおり、ここはupper area なんでしょうか。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/09/20 01:01

その昔、私が統計を学んだ時、恩師が語ったことで、今ネットで確認を取ろうとしても出て来なかったことを書きます。

ご質問の表記法とは合致しませんので、話半分で聞いて下さい。

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『標準正規分布の横軸である「何σか」の値のことを、多くの表やテキストでu値またはz値と書いている理由は、unbiased、あるいは、zero-biased から来ている。』

つまり、平均が０である、左右対称である、という示唆があり、uもzも同じ意図で使われているということです。

最近は、大文字のUがマンホイットニーのU検定を指すことから、正規検定（u値やz値を使った検定）のことをu検定ではなく、z検定、Z検定と呼ぶことが多くなりました。

私が学んだ古い教科書（鐵先生のやつ）はu検定でしたから、私はいまだにu検定って言っています（恥）。

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なお、統計学では、小文字は値、大文字は変数を指すことが多いです（数学全般も一緒？）。
小文字はボールド書体であればベクトル、普通の書体であれば添字iやjを付けて何番目の値かを指定するのが一般的です。
さらに、u()と書くと、uは関数を表します。

よって、ご質問の表記法は謎です。
uは、Z変数の成分の最大値zの関数である、ということでしょ？