一橋大学過去問 複素数平面

以下、答案途中まで

sinθ+icosθ)^n
=(cos(π/2-θ)+isin(π/2-θ))^n
=(cos(nπ/2-nθ)+isin(nπ/2-nθ))
=(cos(π/2-nθ)+isin(π/2-nθ)
(1)cos(nπ/2-nθ)=cos(π/2-nθ)
(a) n=2k
(-1)^kcosnθ=sinnθ
(b) n=2k+1
(-1)^ksinnθ=sinnθ
(2) sin(nπ/2-nθ)=sin(π/2-nθ)
(a) n=2k
-(-1)^ksinnθ=cosnθ
(b) n=2k+1
(-1)^kcosnθ=cosnθ より
---
(a) n=2k n/a
(b) n=2k+1 k=2mの時 ok
n=1,5,9,13,17,21,25,29
-->
S=120



以下問題

https://imgur.com/a/2ZJrA59


何卒よろしくお願いします

質問者からの補足コメント

• 

  教授、こんにちは
  
  ご回答ありがとうございます
  
  私は以下のように考えてみました
  
  以下、画像拡大リンク先
  
  https://imgur.com/a/KZwpzkE
  
  大卒よろしくお願いします

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/10/13 17:41

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/10/20 10:50

あなたの解答はあっています。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/13 17:02

1≦n≦30は整数であって,

少なくとも1つの角θに対して
(sinθ+icosθ)^n=sin(nθ)+icos(nθ)
が満たされている
このような条件を満たすすべてのnの和を求めよ

(sinθ+icosθ)^n
={cos(π/2-θ)+isin(π/2-θ)}^n
=cos(nπ/2-nθ)+isin(nπ/2-nθ)
=cos(π/2+2mπ-nθ)+isin(π/2+2mπ-nθ)

nπ/2=π/2+2mπ
↓両辺に2/πをかけると
n=1+4m

1≦1+4m≦30
0≦4m≦29
0≦m≦29/4
↓mは整数だから
0≦m≦7

S
=Σ[m=0～7]n
=Σ[m=0～7](1+4m)
=8+4Σ[m=1～7]m
=8+4{7(7+1)/2}
=120