三角関数の不等式の問題について教えてください。 -5/4π <= 2θ +π/4 <= - 3/4π

三角関数の不等式の問題について教えてください。

-5/4π <= 2θ +π/4 <= - 3/4π
は考え方としては、定義域より
3/4π -2π <= 2θ +π/4 <= 5/4π -2π
だと理解しているのですが、

どのタイミングで-2π(2π戻ってから)を考慮せずに考えればいいのでしょうか？

問題だと

3/4π <= 2θ +π/4 <= 5/4π
あたりは考慮してないようでしてわからなくなってしまいました。

No.2 ベストアンサー 回答者： kenashitouge 回答日時： 2024/10/18 11:21

ごめんなさい。

ちょっと何を仰りたいのか理解できません。

＞問題だと

3/4π <= 2θ +π/4 <= 5/4π
あたりは考慮してないようでしてわからなくなってしまいました。

問題はただ不等式が書かれているだけで、解き方まで書いていないでしょう。

問題だと、ではなく、解答だと、が本来なのでは？

とにかくよくわからない内容と文脈です。

どの不等式も、偏角θの範囲は-π≦θ＜πの元で解け、ということで間違いないですよね？(スマホブラウザからだと画像の拡大が出来なくてよくわからないための確認)

そうであるとして説明します。

-π≦θ＜π
⇔-2π≦2θ＜2π
⇔-2π+π/4≦2θ+π/4＜2π+π/4
⇔-7π/4≦2θ+π/4＜9π/4

※3/4πとか5/4πというタイピングは、πが分母にあると誤解しやすいので、疑いの余地無く理解できるようタイピングには注意を払って投稿していただきたい

となるはずですが、まず、計算に齟齬はないか今一度ご確認下さい。

(1)の不等式は、この範囲で動く偏角2θ+π/4に対して三角関数の値が√2/2以上になるような偏角2θ+π/4の範囲を調べ上げ、さらに元を辿って、θの範囲はどうなるか、を求めるものです。

それ以上でもそれ以下でもありません。

もし、2θ+π/4と逐一記述するのが面倒であれば、2θ+π/4=ψとでも置いて、-7π/4≦ψ＜9π/4として、

不等式　cosψ≧√2/2　の形にしたらどうですか？見栄えは良くなるでしょう？

本質的には最初に学ぶ不等式と大差ありません。偏角が一次関数の、後に学ぶであろう合成関数の形を取っているだけの違いです。難しく考えることはありません。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/18 14:21

なんか頭の中で難しく考えちゃってるようだけど、

(1) なら X = 2θ + π/4 で置換してしまえば
割と単純な話だよ。

不等式 -1/√2 ≦ cos X ≦ 1/√2 を
2(-π) + π/4 ≦ X ≦ 2π + π/4 の範囲で解け。

単位円を書いて、一発。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/10/18 14:12

定義域は -π≦θ<π ですよね。

つまり 単位円一周分ですよね。
で 問題は θ や 2θ+(π/4) や θ+(π/2) がどこにあるか、と言う事ですよね。
sin は 第1と第２象限で 正、第３と第４象限で 負 ですよね。
cos は 第1と第3象限で 正、第2と第４象限で 負 ですよね。
従って それぞれの場合で 場合分けをする必要があるのでは。
±2π で 区切る理由が分かりません。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/18 11:30

No.1 です。

「定義域」ではなくて、ひょっとして「解」の方の話ですか？

「解」は「解」なのであって、勝手に値を「+2π」「-2π」してはいけませんよ。
「+2π」「-2π」しても変わらないのは「三角関数の値」の方であって、角度は「+2π」「-2π」したら変わっちゃいますから。

お示しの (1) であれば
-(7/4)π ≦ 2θ + π/4 < (9/4)π
に対して
　cos(2θ + π/4) < -(√2)/2
または
　cos(2θ + π/4) > (√2)/2
となる範囲ですから
　-(5/4)π < 2θ + π/4 < -(3/4)π　　　①
　-(1/4)π < 2θ + π/4 < (1/4)π　　　②
　(3/4)π < 2θ + π/4 < (5/4)π　　　③
　(7/4)π < 2θ + π/4 < (9/4)π　　　④
が不等式を満たす範囲になります。

あとは、これを単純に θ について記述するだけで、勝手に「+2π」「-2π」などしてはいけません。

①は
　-(5/4)π < 2θ + π/4 < -(3/4)π
→　-(3/2)π < 2θ < -π
→　-(3/4)π < θ < -π/2

②は
　-(1/4)π < 2θ + π/4 < (1/4)π
→　-(1/2)π < 2θ < 0
→　-(1/4)π < θ < 0

③は
　(3/4)π < 2θ + π/4 < (5/4)π
→　(1/2)π < 2θ < π
→　(1/4)π < θ < π/2

④は
　(7/4)π < 2θ + π/4 < (9/4)π
→　(3/2)π < 2θ < 2π
→　(3/4)π < θ < π

すべての範囲が「-π ≦ θ < π」の定義域に入っていますね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/18 11:03

＞-5/4π <= 2θ +π/4 <= - 3/4π

(1) の話だとすれば、それは間違ってますね。

定義域が「-π ≦ θ < π」なら
　-π ≦ θ < π
　　↓
　-2π ≦ 2θ < 2π
　　↓
　-2π + π/4 ≦ 2θ + π/4 < 2π + π/4
　→　-(7/4)π ≦ 2θ + π/4 < (9/4)π

ですよ。
これは
「-(7/4)π から、-(7/4)π ～0～2π をぐるっと一周して、さらに (9/4)π まで」
つまり「2周分」の範囲です。

その「2周分」を、勝手に「一周のさらに一部」に変えてはいけません。
定義域全体を「+2π」「-2π」にしても範囲は変わりませんが、「上限」「下限」を別々に「+2π」「-2π」してはいけません。

＞どのタイミングで-2π(2π戻ってから)を考慮せずに考えればいいのでしょうか？

おそらく、その考え方自体が間違っています。
「範囲」はあくまで「範囲」であって、「範囲全体を平行移動する」ことはできても、「下限、上限」を別々に勝手に変えたら「範囲」の意味が変わってしまいます。