こうこうすうがくについてです。 y=cosx…①という式があったとき、dy=-sinxdx…②とあり

こうこうすうがくについてです。
y=cosx…①という式があったとき、dy=-sinxdx…②とありました。
①から②になる理由がすっきりと飲み込めていません。
どなたかなぜ①から②が言えるのか教えてください、多分dxとdyの意味もよくわかっていないです。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2024/11/11 11:07

y=cos x において　x で微分すれば

d(y)/dx=d(cos x)/dx
dy/dx= - sin x
∴　dy= - sin x /dx

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/11 10:34

y=cosx

で
xをtの関数であるとすると
x=x(t)
yもtの関数となって

y(t)=cos{x(t)}

↓両辺をtで微分すると

dy(t)/dt=-sin(x(t))(dx(t)/dt)

ここでtを省略し
x(t)=x
y(t)=y
dy(t)/dt=dy
dx(t)/dt=dx
と略記すると

dy=-sinxdx

となる

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/11/06 18:40

訂正

☓…医科のように
　　↓
◯…以下のように

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/11/06 18:39

医科のように思っておけば良さそうです

y＝f(x)について
これが直線を表すとき、その変化率(傾き)は一定で
xの値がΔxだけ増えたとき、yの増分Δyは
Δy＝変化率・Δx　(　・　は掛け算の意味)
てでよね
しかし、y＝f(x)が曲線を表すとき、変化率は一定ではないので、
一般に、Δy＝変化率・Δx　とはなりません
しかし、Δxをなるべく小さめに取れば
xからdxだけ増えるときのyの増分は
Δy≒変化率・Δx
とはなりますよね
そして、Δxを極限まで小さくして(Δx→0として)やれば、xがとてもとてもとても小くΔxだけ増加している間は変化率は一定とみなせて
Δy＝変化率・Δx　となりそうですよね　
このとき、極限まで小さくした増分Δxをdxと表記し、それに伴う小さな小さなyの増分Δyをdyと表記してやればxにおけるyの増分は
dy＝変化率・dx
と言う事になります
そして、xにおける変化率はf′(x)なので
(グラフで言えば点(x、f(x))における接線の傾きはf′(x)なので)
dy＝f′(x)dx
と考える事も出来そうです

ご質問のように、f(x)＝cosxならば
f′(x)＝−sinxなので
dy＝−sinxdx
と出来そうだと言う事です

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/06 18:00

y = cos(x)

が

dy/dx = -sin(x)

になることは分かりますか?

「dy/dx」は分数ではありませんが、微小な変化率として

　Δy/Δx = -sin(x)

と書けば、Δy と Δx は独立なので

　Δy = -sin(x)･Δx

と書けます。

これを延長して

　dy = -sin(x)･dx

と書くことがよくあります。
高校数学ではそう書きませんが。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/06 17:57

高校数学で、dy/dx の分数の形でなく ｄｘ，dy を単独で使うのは御法度です。

大学で解析学を学ぶと、dx や dy も意味を持つのですが、その話は高校の
教科書には出てきません。

置換積分のときに dy = (-sin x)dx という書き方が出てくるのは、当面は
便宜的略記(ナンチャッテ記法)なんだと理解しましょう。
置換積分は、高校範囲では ∫f(y)dy = ∫f(y) (dy/dx) dx = ∫f(cos x) (-sin x) dx
のように書きます。この変形を、中間の ∫f(y) (dy/dx) dx を飛ばして
dy = (-sin x)dx を代入したと考えれば簡単だよね？ という、まあ
式の暗記法みたいなもんです。

もちろん、解析学では dy = (-sin x)dx という式の各辺がちゃんと意味を持つ
のですが、それは将来のお楽しみ。
高校生の間は、鎌倉幕府を「イイハコ作ろう」と覚えたり、
置換積分は dy = y’ dx と覚えたりして、その場をしのぎましょう。

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2024/11/06 17:30

②式は、微分形式でdy/dx=-sinxと書くのを積分形式で記載しただけの事です。