式(8.3.1)を変形した式(8.3.2)の意味を教えてください． 式(8.3.1)と何が違う？ h

式(8.3.1)を変形した式(8.3.2)の意味を教えてください．
式(8.3.1)と何が違う？
https://www.chem.tsukuba.ac.jp/kazuya/kazuya/Cha …

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/19 19:01

連投してますねえ。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13966544.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13967269.html

その引用文に「極座標に書き換え、角度について積分してしまうと」
と書いてあるでしょう？ それだけです。
「球座標に書き換え、緯度経度について積分してしまうと」
と言ったほうが正確かとは思いますが。

（8.3.1） の被積分関数は、球面座標の関数として表したとき
(vx,vy,vz) の長さ v のみに依存し、緯度経度には依存しない関数です。
だから、確率密度を積分して確率を求めるとき、
(vx,vy,vz) の球座標表示を (v,θ,φ) として
∫∫∫ f(↑v) dvx dvy dvz = ∫∫∫ f(↑v) (v^2)sinθ dv dθ dφ
　　　　　　　　　　　= { ∫ f(↑v) (v^2) dv }{ ∫ sinθ dθ }{ ∫ dφ }
　　　　　　　　　　　= { ∫ f(↑v) (v^2) dv }{ 2 }{ 2π }
　　　　　　　　　　　= ∫ (4πv^2) f(↑v) dv
と計算できます。
g(v) = (4πv^2) f(↑v) だというわけです。

積分計算の途中で登場した (v^2)sinθ は、
直交座標を球座標で置換積分する際の ヤコビアン です。