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底面がS0(エスゼロ)=1m^2のバケツがあり、そこに1m^3/sで水道から水を入れる。バケツの底にはS1=0.2m^2の穴があり、そこからVm^3/sで水が出て行く。このとき平衡になる(水深hが一定になる)hを求めよ。という問題です。
一応答えは1.25mになるようですが、解き方がわかりません。それに関係すると思われる式は、(1/2)(V×S1)V^2=(V×S1)×g×h(g=10m/s^2)を解けばよいようなのですが、なぜ、重力加速度がでてくるのかわからないし、Vの求め方もわかりません。1/2がでてきたり、Vが2乗されているのや、VとSがなぜかけているのかもわかりません。どなたか分かる方、教えて下さい。

A 回答 (3件)

こんにちは。



A No.1 の hata3955jさんのご回答は正しいと思いますが、
別の見方でお答えしますね。

時間Δtの間に穴から出て行く水の質量ΔMは、水の質量密度をρとすると、

ΔM = ρ×V×Δt×S1 になりますね。

例えば穴が円形なら、穴にくっついた底面積S1、高さV×Δt の円柱を考えればわかりやすいと思います。その体積の部分が穴から出てきたわけなので、それにρをかければ出て行く水の質量になります。

水が流れ出てバケツの中身が失ったエネルギー ΔE は、この運動エネルギー 1/2・ΔM・V^2 になります。

一方、上から注がれた水(質量 ΔM'とする)は穴の位置より h だけ高いところに加わりますので、加わった水の位置エネルギー ΔE' は、ΔM' g h になります。

ところで、平衡状態になるには、ΔM = ΔM' であり、供給されたエネルギー ΔE' と失ったエネルギー ΔE もつりあいます。すなわち、

ΔE = ΔE'
1/2・ΔM・V^2 = ΔM' g h = ΔM g h
1/2・ρ V S1 V^2 = ρ V S1 g h

ρを打消し合わせると、

1/2・V S1 V^2 = V S1 g h

になります。

これは V^2 = 2 g h なので、あとの計算は、A No.1 のご回答と同様ですね。
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この回答へのお礼

より一般的なのですね。少し難しかったですが、勉強になります。どうもありがとうございました。

お礼日時:2007/07/26 15:59

A1 です。



A2 aquarius hiro の 回答拝見しました。 目からうろこです。

v^2=2gh を公式として無意識に使っていましたが、水面で補給された水の位置エネルギーが、バケツの底から勢いよく流れ出る運動エネルギーとして使われている・・・・・・・

まさにv^2=2ghですね。

ありがとうございました。
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流体力学のベルヌーイの定理を利用するのだと思います。



くわしいことについては下のサイトをごらん下さい。

簡単に言えば水深が深くなる(水面が高くなる)ほど、底の穴から出る(落ちる)水の速さが速くなる。

水深をz とすると、穴から出る水の速さvは

v^2=2gzという関係が成りたちます。(自由落下の公式と同じ形です) 

この問題の場合、穴の面積は容器の底面積の1/5 です。上からは毎秒1m^3で水を補給しています。これは表面の高さを毎秒1m上昇させる勢いです。ですから、底の穴から5m/秒の速さで水が出ていけば水面の高さが一定になる、ということです。

上の

v^2=2gz にv=5を代入すると 

25=2×9.8×z

すなわち、z=1.25m です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB% …
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この回答へのお礼

なるほど、分かりやすかったです、どうもありがとうございました。

お礼日時:2007/07/26 15:57

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