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平面上の2定点O、Aと動点Pに対し、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置と半径を求めよ。

l2OP-OAl=4
(OPとOAの上には右方向の矢印があります。)

この問題で解説を見ると、2OP-OA=4を OP-OA/2=2として、
答えは半径が2で、中心の位置はOAの中点なんですが、なぜ2OP-OA=4を2で割るのかが疑問です。そして中心の位置はOAの中点というのも理解できません。この辺を説明お願いします。

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A 回答 (2件)

点Oを基準点とします。

また基準点はどこに在ってもいいので説明の都合で、
原点(0、0)に合わせます。

位置ベクトルP(↑p)=(x,y), A(↑a)=(s,t)として、
↑0P=↑p=(x,y)、 ↑0A=↑a=(s,t) です。

  |2↑p-↑a|=4 ・・・(1)
  |↑p-(1/2)↑a|=2 ・・・(2)

このままで中心C(↑a/2)、半径2の円に見えればbetterですが、
これを座標表示すると。

 |(x,y)-(s/2,t/2)|=2
 |( x-(s/2), y-(t/2) )|=2
 √[ {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2 ]=2

 {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2=4・・・(3)
これは、中心(s/2,t/2)=(1/2)↑a 、半径2の円です。

(1)が何故不都合かというと、これも座標表示して見ると、
 |2(x,y)-(s,t)|=4
 | (2x-s , 2y-t) |=4
 √[ (2x-s)^2+(2y-t)^2 ]=4

 (2x-s)^2+(2y-t)^2=16 となります。

このままでは、半径も中心も判りにくいので、両辺を4で割ります。
(平方しているんで、ベクトル方程式で2で割ることに対応します。)
 {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2=4 結局は(3)とおなじです。

つまり、
  |2↑p-↑a|=4 ・・・(1)、 |↑p-(1/2)↑a|=2 ・・・(2)
↑pの係数が2では判り難いので、
↑pの係数を1にするために2で割って(2)が判り易いと。

さらに遡ると、
 中心が原点、半径r の円は |↑p|=r と表され、
 中心が↑α、半径r の円は |↑p-↑α|=r と表されます。
通常この形を円のベクトル方程式と呼ぶようです。
提題の形(1)を(2)に変形する事によって、
中心と半径が判り良くなると。
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OBを中心とする半径rの円のベクトル方程式は、


|OP-OB|=r
です。これと、
lOP-OA/2|=2
を比較して下さい。
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