弧の長さ、及び面積の出し方

教えてください。

弧の長さ、及び面積を出したいのです。
半径・角度は不明です。
円を中心点から離れた位置に線を引きます。
その線の長さをA。
Aの中点から弧に向かって垂直に降ろした線をBとします。
わかっているのはこのAとBです。
これで、弧の長さ及び面積を出すことはできますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/05/14 19:48

#1です。

A#1の補足質問の回答

A#1の参考URLの図を見れば分かりますが、
最初にθの式のsinはsin^(-1)の転写ミスですので訂正します。
エクセルでは　「ASIN()」がこのarcsine関数です。

一連の式をエクセルの式で書くと
R=((A^2)+4(B^2))/(8*B),θ=2*ASIN(A/(2*R)),L=R*θ
S=(R*L/2)-(A/2)*R*cos(θ/2)
となります。

補足質問の例題を適用すると
>A=10cm B=3cm とする

>円の半径R=｛(10*10)+4*(3*3)}÷8*3=51　×
正しいRは
R=((10*10)+4*(3*3))/(8*3)=17/3=5.6667[cm]

>中心角θ＝11.24°　×
正しいθは
θ=2*ASIN(15/17)=2.1617[rad]=123.855[°]

>弧の長さL＝2*51*3.14÷(360÷11.24)=10.008cm　×
正しいLは
L=(17/3)*2*ASIN(15/17)=(34/3)*ASIN(15/17)=12.2495[cm]

> 弓形の面積S=(51*51*3.14÷(360÷11.24))-(51-3)*5÷2=155.223 ×
正しいSは
S=(289/9)*ASIN(15/17)-(14/3)=21.3736[cm^2]
以上の図を添付しておきます。//

>教えていただいた弧の長さL=R*θの出し方は
>L=51×11.24=573.24 となり、円周より大きくなります。
>私の理解の仕方がどこか間違っていると思うのですが、判りません。

R=17/3=5.6667[cm]
θの値はラジアン単位[rad]のものを使わないといけません。
θ=2.1617[rad]
L=12.2495[cm]
円周は2πR=35.6047[cm]＞L
で円弧の長さLは、凡そ、円周の1/3位になります。

この回答へのお礼

info22さん、ご丁寧にありがとうございました。
わかりました！！

はじめに、半径が5.6667cmと出たのですが、A=10と直径がほとんど変わらないので、先に8で割ってから3を掛けてしまいました。
ラジアン(RADIANS),アークサイン(ASIN)はパソコンの関数で使用できます。

これでいつも正確な長さ・面積を出すことができます。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2009/05/15 11:52

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/05/13 16:38

円の半径R={(A^2)+4(B^2)}/(8B)

中心角θ=2 sin{A/(2R)}
なので
弧の長さLは
L=Rθ
から計算ができます。

また弓形の面積Sは
S=(RL/2)-(A/2)Rcos(θ/2)
で計算できます。

順に
R→θ→L→Sの順に求めていけますね。

参考URL：http://lancemore.jp/mathematics/math_011.html

この回答への補足

info22さん、お返事ありがとうございました。

確かめに時間がかかってしまいました。
それでも今一つ自信がありません。下記であっているでしょうか？
Excelで計算しています。

A=10cm B=3cm とする
円の半径R=｛(10*10)+4*(3*3)}÷8*3=51
中心角θ＝11.24°
弧の長さ＝2*51*3.14÷(360÷11.24)=10.008cm
弓形の面積=(51*51*3.14÷(360÷11.24))-(51-3)*5÷2=155.223
　　　　　　（扇形から三角形を引きました）

教えていただいた弧の長さの出し方は
51×11.24=573.24 となり、円周より大きくなります。
私の理解の仕方がどこか間違っていると思うのですが、判りません。
もう、いちど教えてもらえませんか？

補足日時：2009/05/14 16:07