変数分離の問題についてなのですが

X・dy/dx＝3y
の一般解をもとめるのですが
lny=3lnX＋Ｃ　　までは求められるのですが
上より　y=CX３(三乗)
になるのがわかりません。

どなたかわかる方親切な回答お願いできますでしょうか？

No.3 回答者： Knotopolog 回答日時： 2009/06/29 11:11

＃１さん，＃２さんの書かれている通りです．

lny＝3lnX＋Ｃ　を変形すると，対数の法則により，

lny＝ln(X^3)＋Ｃ

です．ここで仮に，Ｃ を Ｃ＝lnΑ と置きましょう．すると，上式は，

lny＝ln(X^3)＋lnΑ

となります．これを変形すると，

lny＝ln(ΑX^3)

です．したがって，対数の記号をはずせますから，

y＝ΑX^3

となります．ここで，あらためて，上式の Α を Ｃ と書けば，

y＝ＣX^3

になります．では，なぜ，Ｃ＝lnΑ の Α を Ｃ と書くのかと言うと，
これは，Α や Ｃ が積分定数で，その値が未定なので，記号は何でもいいのです．
要は，始めに与えられた微分方程式，X・dy/dx＝3y を満たす解であれば，積分定数の
記号は，何を用いてもいいのです．つまり，Ｃ も lnΑ も定数ですから．

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/06/28 20:09

指数計算のところですね。

右辺に対して、

・a * ln(x) = ln(x^a)
・ln(x) + ln(y) = ln(x * y)

を順番に適用してみて下さい。
1番目の式は、xが e（自然対数）のときも考えてみて下さい。

あと、lny=3lnX＋Ｃ と y=CX３(三乗)にそれぞれ表れる C ですが、
同じ値ではありません。
単なる定数として、Cを用いて表しているだけです。そこは注意して下さい。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/06/28 20:09

3ln(x)C=ln(x^3)+ln(e^lnC)=ln{(e^lnC)*x^3}

(C=e^lnCを使い変形,C>0としてある。)
ここで改めてe^lnCをCに置き換えると
ln(y)=ln(Cx^3)
となります。
正確には、ln(y)ではなく、ln|y|であるので、Cの符号は正負どちらでもよい。