かけ算

Question

かけ算についてです。

私が九九を習ったのは、（１０年ひと昔と言えば、もう、ふた昔くらい前だったかな。）だいぶ前なので、九九の復習から始めましょう。

●九九の復習
えーとぉ、
４×８＝３２
ですよね。まさか間違えてませんよね。(^_^;)


●面積の場合
「縦４ｍ、横８ｍの長方形があります。この長方形の面積を求めなさい。」という問題の場合、
解答としては４ｍと８ｍをかけて３２ｍ^2（３２平方メートル）となりますよね。


●ボールの場合
「ボールを、縦４個、横８個の長方形の形になるように並べました。ボールは何個ですか。」という問題の場合、
解答としては４個と８個をかけて３２個となりますよね。


●お金の場合
「１０円玉を、縦４個、横８個の長方形の形になるように並べました。１０円玉は全部で何円ですか。」という問題の場合、
「縦に数えると４０円、横に数えると８０円。だから、４０と８０をかけて、答えは３２００円。」という考え方は正しいでしょうか。私は、間違えていると思います。しかし、どこを間違えているのかを説明できません。間違えているならば、どこを間違えているのか、説明してください。


また、よく考えてみると、上のボールの問題の場合の解答は、間違えではないですか？
単位について考えてみると、面積の問題の場合にはｍ（メートル）とｍ（メートル）をかけてｍ^2になったのに、なぜボールの場合は個と個をかけて個^2とはならないのでしょうか。

DASS · Accepted Answer

補足頂きましてありがとうございます。

>>さて、円に円をかけて出来る「平方円」というのはどのような意味でしょうか。 
>>正しい計算だけれど、意味なんてありはしないんでしょうか。 
>>（ひょっとして、円に円をかけるというのは、質問の「お金の場合」にその計算をするのは間違えだけど、円に円をかけること自体は間違っていなくて、何か隠された意味があるのでしょうか。） 

「平方円」という単位を”作ること”はできます。
数学的には、意味のあることかもしれません。
（私はあくまでも一般人なので、専門的なことはわかりません）
しかし、日常生活において、平方円という単位を使うことはないでしょうね。

同様に、［個］×［個］＝［平方個］という単位も作ることはできますが、日常生活では使われることのない単位だと思います。

ご質問者さんの質問内容と、今までの回答を見ていると、正しい単位の計算を行っていないように見えたので、「１列につき」、とか、「１袋につき」という「隠された単位」のことを説明したかっただけです。

>>どうも世の中には、長さに長さをかけると面積になるというような意味のあるかけ算と、 
>>円に円をかけると平方円になるというような意味のないかけ算があるようですね。 

何となく問題を解いてしまうと、［個］×［個］＝［個］という間違いをしてしまうことになります。
［個］×［個］＝［平方個］なのです。
だからこそ、［ｍ］×［ｍ］＝［ｍ×ｍ］＝［ｍ＾２］（平方メートル）なのです。
この、「単位の計算方法」に例外は無いと思います（日常生活において）。
面積の単位に書かれている、「平方」や「＾２」という文字が、［長さと長さを掛け算しなさい］と教えてくれています。
「長さを２つ、掛け合わせること」が「面積の定義」なのです。

●お金の場合（自分の回答に補足します）
　「１０円玉を縦４個、横８個に並べた場合」
　　１０円玉の定義は、「１０円／個」です。
　　つまり、「１個あたり１０円の価値がある」です。
　　従って正確な計算としては、

　　　　４［個／列］×８［列］×１０［円／個］
　　　＝４×８×１０［個／列×列×円／個］
　　　＝３２０［円］
　　です。

●円周率の場合
　　円周率の定義は、「円周／直径」ですから、「長さ／長さ」となり、単位が無くなり、ただの［倍率］になってしまうのですね。
　　これをきちんと［長さ／長さ］として表すと、
　　直径１ｍの円の円周は、
　　　　１［ｍ］×３．１４…［ｍ／ｍ］
　　　＝３．１４…［ｍ×ｍ／ｍ］
　　　＝３．１４…［ｍ］
　　となるのです。

>>ついでながらお教えいただきたいのですが、長さ以外で（重さでも容積でもなんでもいいんですが。）同じ単位のものをかけ合わせるかけ算ってありますか？>>（意味もあること）

日常生活では、あまり見かけないような気がします。
もっとも、日常生活に関する物理として必要な単位は、「ＭＫＳ単位系」といって、
　Ｍ：長さ「ｍ（メートル）」
　Ｋ：重さ「Ｋｇ（キログラム）」
　Ｓ：時間「ｓ（秒）」
の３つの単位で表されてしまいます（電気関係を除きます。苦手なのもので、よくわかりません）。
ｃｍ（センチメートル）は、長さの単位です。
ｍｇ（ミリグラム）は、重さの単位です。
このように、「長さ」「重さ」「時間」の３つの単位で、全てが表せることがわかっています（電気関係除く「笑」）。

もちろん、日常生活では、この３つに加えて、「個（人や匹など、個数を数える単位）」が必要でありますし、「円（ドルや元など、お金を数える単位）」も必要かと思いますが、これらを２個以上、掛け合わせることはないと思います。

Ｍ：長さは、２個を掛け合わせて面積「ｍ＾２（平方メートル）」に、３個を掛け合わせれば体積「ｍ＾３（立方メートル）」になることはご存じのことです。

Ｋ：重さを２個、掛け合わせることは無いように思います。

Ｓ：時間を２個、掛け合わせることはあります。
正確には、「割る」のですが。
加速度「ｍ／ｓ＾２」は、「メートル毎秒毎秒」という言い方をします。
ですので、「長さ」を「時間」で２回、割ったものです。

●止まっていた物が動き出して、１秒間に１ｍ進みました。加速度はいくつでしょうか？
　　加速度の単位が［ｍ／ｓ＾２］なので、
　　「長さ」÷（ 「時間」＾２）
　　であることがわかります。
　　問題より、長さ：１ｍ
　　　　　　　時間：１秒
　　なので、
　　　　　　「長さ」÷（ 「時間」＾２）は、
　　　　　　１［ｍ］÷（ １［秒］＾２ ）
　　　　　＝１［ｍ／ｓ／ｓ］
　　　　　＝１［ｍ／ｓ＾２］
　　とわかります。

今わかるのはこの程度です。

DASS · Answer

●ボールの場合
「縦４個、横８個」に並べた場合

　　ひとまず、縦の列を基準に考えます。
　　「縦に４個並んでいる」は、「縦一列につき、４個並んでいる」と言うことです。
　　そして「横に８個並んでいる」は、「縦に４個並んでいる列が、８列ある」と言うことです。
　　従って、正確な計算としては、

　　　　４［個（縦１列につき）］ × ８［列］
　　　＝ ４［個／列］ × ８［列］
　　　＝ ３２［個／列×列］←［／列×列］は、約分されます
　　　＝ ３２ 個

　　となります。
　　４［個／列］と言うところが難しいので、算数では教えにくいところなのでしょう。

●お金の場合
　　４０［円］ × ８０［円］ ＝ ３２００［円＾２（平方円とでもいうのでしょうか？）］
　　という計算は、問題の求める答えが「何平方円でしょうか？」ならば、正しいと思います。

　　しかし、問題の求めている答えは、「何円でしょうか？」ですので、答えも「何［円］」でなければなりません。
　　何円でしょうか？と言う問いに対し、全てが１０円玉で構成されているこの問題は、１０円玉が「何個あるか？」というように、意味を解釈しなければなりません。
　　なので、まずは「縦に４０円」を「縦に４個（１列につき）」というように直さなければなりません。
　　あとは上記と同じで、
　　　　４［個／列］×８［列］＝３２［個／列×列］＝３２個
　　今度は、個数から金額に直さなければなりません。
　　１０円玉が３２個あると言うことは、合計の金額は３２倍ということです。
　　３２倍すると言うことは、単純に３２をかけることであり、単位はありません。
　　　　１０円×３２＝３２０円

実際は、このような複雑な「単位の変換」＆「単位の計算」になるのです。

しかし、算数のレベルでこの「単位の変換＆計算」を教えていては、小学生には理解できないと思われるので、無理矢理「解き方だけを教える」ことになってしまうのではないでしょうか。

他にも「あんパン４個入りの袋が８袋あった場合」という問題であれば、
　　４［個／袋］×８［袋］＝３２［個／袋×袋］＝３２個
なのです。
一袋につき、と言うところが重要なのですね。

「時速」などは単位が［Ｋｍ／時］です。
単位が分数である物が世の中にあることを習うこともあると思います。
「時速４Ｋｍで８時間歩いたら」と言う問題は、
　　４［Ｋｍ／時］ × ８［時間］＝ ３２［Ｋｍ／時×時］＝３２Ｋｍ
です。

案外、「実は単位が分数である物」は多いのです。

●１つの車両に１００人の客が乗っている８両編成の電車には、何人の客がいますか？
　　１００［人／車両］×８［車両］＝８００人

問題に隠された本当の単位に気づけば、理解できるかと思います。

逆に面積の場合、「縦４ｍ」は、「１列につき」ではありません。４ｍのままです。
横の８ｍもそのままです。
そして求められている答えも、「何ｍ＾２でしょうか？」ですので、
　　４［ｍ］×８［ｍ］＝３２［ｍ＾２］
で良いわけです。

これが、「周囲は何ｍでしょうか？」と言う問題であれば、
　　４［ｍ／１辺につき］×２［辺］＋８［ｍ／１辺につき］×２［辺］
＝４Ｘ２［ｍ／辺×辺］＋８Ｘ２［ｍ／辺×辺］
＝２４ｍ
となります。

この「単位の理屈」を理解すると、上記の
　　４ｘ２＋８ｘ２
について、
「どうして足し算（２＋８）よりかけ算（４ｘ２や８ｘ２）が先なのか？」
がわかるようになりますよ。

sokamone · Answer

＞単位について考えてみると、面積の問題の場合にはｍ（メートル）とｍ（メートル）をかけてｍ^2になったのに、なぜボールの場合は個と個をかけて個^2とはならないのでしょうか。

このご指摘なかなか深いと思います。私の考えを述べる前に、数学のお話を。
　数学では集合の濃度という概念があります。集合とはもののあつまりのことですが、１，２，３・・・と番号をつけることのできるものを、「高々可算個である」といったりします。自然数の集合は当然高々可算個です。また、整数の集合も高々可算個です。またこれは驚かれるかもしれませんが、有理数の集合も高々可算個です。
　実数は高々可算個ではありません。このことを数学では実数は自然数とは異なる「濃度」をもつと考えます。また、2つの実数の組全体からなる集合は、実数とは異なる濃度をもちます。

　さてご指摘の問題に対する私の考えを述べます。長さ(ｍ）というのは実数の濃度をもつものの単位のひとつです。そして、面積は長さと長さの対と同じ濃度をもつので（これは認めて下さい）もう実数の濃度では無くなってしまいます。だから、異なる単位を用いるのが適当なのだと思います。問題は個＾２です！ボールや物の個数は有限個です。有限個数×有限個数もまた有限個数です。だから、濃度は変わらないのです。だから、あえて個^２という新しい単位をつくる必要はなく、どのように数えようとも単位は個のままです。個＾２という単位を導入することも可能だと思いますが、値は同じになります。

ticky · Answer

#7です。

先ほどの私の回答を見直していて、
４個のかたまりが８つというのは、
４個のかたまりが８個というのと、
何も変わらないことに気がつきました。

もしかしたら、～個とか、～つというのはほかの単位とは少し違うのかもしれません。
長さが８ｍというところを、長さが８といったのではよく分からなくなってしまいますが、
りんごが８個といっても、りんごが８といっても、意味は変わりません。この意味で、必ず必要というわけでなく、ｍとか円という「単位」とは少し正確が違うように思えます。

だらだら書いてごめんなさい！

ticky · Answer

こんばんは。

ボールの場合は、実は、
４個×８個＝……ではなくて、
４個のかたまりが８つ、
つまり、
４個×８＝３２個なんです。

お金の場合も同じです。
縦に４０円、これが横に８つ並んでいるから、
４０円×８＝３２０円
ですね。

このように考えていくと、面積の方が、例外的かも知れません。

まず、地面に４ｍの棒を縦において、
そして、真横にずずーっと、８ｍ引きずっていきます。
そうして、地面についた痕の面積は、
４ｍ×８ｍ＝３２ｍ＾２です。

（たぶんこの考え方であってると思うけど、例外がないか不安です。例外を思いついたら、また書き込みます。）

papa0108 · Answer

掛け算の考え方は何が何個なるかを基準として考えればいいのです。

面積：１平方メートルという単位の広さが何個あるのか
ボール：１個という単位のボールが何個あるのか
お金：１０円という単位のお金が何個あるのか

そういう考えに基づいています。

ご理解いただけましたでしょうか。

noname#24477 · Answer

たとえば１本１０円の鉛筆が５本でいくら？
というときは
１０円×５（本）＝５０円
というように求めたい単位のほうを前に書きます。

しかし実数の掛け算では交換法則が成り立つから
どちらでもいいよ、となります。
小学校ぐらいだと以前は順番も気を使っていたと思いますが
今はどうでしょう。よく知りません。

ボールの個数なら、たとえば
４個が８列で
４個×８（列）＝３２個
ですね。両方とも個数としているわけではありません。
（実際には同じになるんですけどね）

これが押さえられていれば、円と円の掛け算では無いことが
ご理解いただけると思います。

fushigichan · Answer

z12さん、こんにちは。
言葉で言い表すのって、難しいですね！

＞お金の問題
「縦に数えると４０円、横に数えると８０円。だから、４０と８０をかけて、答えは３２００円。」という考え方は正しいでしょうか。私は、間違えていると思います。

そうですね。このやり方は正しくないです。
何故かというと、お金と個数をごっちゃにしてしまっているからです。
縦に４０円分・・・これは、１０円玉が４個。
横に８０円分・・・これは、１０円玉が８個。
さて、縦４個、×横８個とならべた長方形の中に
何円分のお金があるのか？？？を計算するには、
「１０円玉が、一体、何個あるのか？？」を計算し、
それに×１０円、すればいいことになります。
縦４個、×横８個＝全部で３２個、ありますから
３２×１０＝３２０円ですね。

＞ボールの場合
上のボールの問題の場合の解答は、間違えではないですか？ 
なぜボールの場合は個と個をかけて個^2とはならないのでしょうか。

面積は、線分と線分で囲まれた領域の大きさです。
それには、長さ×長さ、の単位を用います。
例えば、縦１ｍ横１６ｍの長方形と
縦４ｍ横４ｍの正方形の面積は
１×１６＝１６m2と、
４×４＝１６m2なので、同じです。
これは、１ｍ×１ｍという正方形が、いくつあるか？？
と考えることができます。
どちらも、１６個の１m2の正方形があります。

一方、ボールの場合は、いくら長方形に並べても
数えるのは、ボールという点の数です。
領域の広さではありません。
そこで、並べられたボールという点を１個、２個・・と数えていくと
縦に４個、横に８個あるのですから、点は全部で
４×８＝３２あります。
だから、ボールの数も３２個となるのです。

sea-chiken · Answer

４個×８個×１０円で３２０円だと思います。
うまく説明できないのですが、
(４個×１０円)×(８個×１０円)＝３２００円
という計算式では単位(円)を２回掛けてしまっているので正しくない。ということだと思います。

ボールのほうは頭でわかっていても文章に表すことができません。すみません。

PAPA0427 · Answer

面積とボールは、長さの積や個数を求めていますね。

１０円玉の場合は、個数と金額が同列に論じられてます。

１０円玉の場合は、「４列×８行＝３２個」ですね。１個、１０円ですから、「３２個×１０円＝３２０円」ですね。

かけ算

補足頂きましてありがとうございます。

この回答への補足

●ボールの場合

この回答への補足

＞単位について考えてみると、面積の問題の場合にはｍ（メートル）とｍ（メートル）をかけてｍ^2になったのに、なぜボールの場合は個と個をかけて個^2とはならないのでしょうか。

この回答への補足

#7です。

この回答への補足

こんばんは。

この回答への補足

掛け算の考え方は何が何個なるかを基準として考えればいいのです。

この回答への補足

たとえば１本１０円の鉛筆が５本でいくら？

この回答への補足

z12さん、こんにちは。

この回答への補足

４個×８個×１０円で３２０円だと思います。

この回答への補足

面積とボールは、長さの積や個数を求めていますね。

この回答への補足

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング