かけ算

かけ算についてです。

私が九九を習ったのは、（１０年ひと昔と言えば、もう、ふた昔くらい前だったかな。）だいぶ前なので、九九の復習から始めましょう。

●九九の復習
えーとぉ、
４×８＝３２
ですよね。まさか間違えてませんよね。(^_^;)


●面積の場合
「縦４ｍ、横８ｍの長方形があります。この長方形の面積を求めなさい。」という問題の場合、
解答としては４ｍと８ｍをかけて３２ｍ^2（３２平方メートル）となりますよね。


●ボールの場合
「ボールを、縦４個、横８個の長方形の形になるように並べました。ボールは何個ですか。」という問題の場合、
解答としては４個と８個をかけて３２個となりますよね。


●お金の場合
「１０円玉を、縦４個、横８個の長方形の形になるように並べました。１０円玉は全部で何円ですか。」という問題の場合、
「縦に数えると４０円、横に数えると８０円。だから、４０と８０をかけて、答えは３２００円。」という考え方は正しいでしょうか。私は、間違えていると思います。しかし、どこを間違えているのかを説明できません。間違えているならば、どこを間違えているのか、説明してください。


また、よく考えてみると、上のボールの問題の場合の解答は、間違えではないですか？
単位について考えてみると、面積の問題の場合にはｍ（メートル）とｍ（メートル）をかけてｍ^2になったのに、なぜボールの場合は個と個をかけて個^2とはならないのでしょうか。

No.1 回答者： arukamun 回答日時： 2003/04/25 22:55

＞●お金の場合

残念ながら間違ったます。
まずは１０円玉の個数を計算します。
縦４個、横８個なので、４×８＝３２個
１０円玉が３２個ですので、１０×３２＝３２０円
という事です。

単位についてですが、
面積の場合、距離×距離＝面積なので、単位が違うのです。（距離はｍ、面積はｍ＾２ですね）
ボールの場合は、個数×個数＝個数なので、単位は変わりません。

この回答への補足

まずはご回答のみなさまへ。
補足またはお礼は少しずつ行いますので、時間がかかります。
ご了承ください。


ご回答ありがとうございます。

さてご回答についての私の意見を述べます。
お金の問題についてのご回答の考え方は正しいと思います。しかし、できれば質問で示した考え方の何が間違っているのかを直接にご指摘いただきたいのです。
まあ、とりあえず「間違えていると思います。」という私の意見は正しかったようなので、安心しました。

>単位についてですが、
>面積の場合、距離×距離＝面積なので、単位が違うのです。（距離はｍ、面積はｍ＾２ですね）

おっしゃるとおり、距離に距離をかけると面積になるし、距離と面積の単位が違うというのもそのとおりだと思います。

>ボールの場合は、個数×個数＝個数なので、単位は変わりません。

個数に個数をかけると個数になるのかどうかは、私、自信がないですが、それでいいような気もします。

さて、ここで疑問が出てきます。
距離と距離をかけると面積になるように単位が変わるかけ算と、個数と個数をかけると個数になったように単位が変わらないかけ算があります。同じ単位のものをかけても単位が変わる場合と、変わらない場合があります。どのような場合に変わり、どのような場合には変わらないのでしょうか。
（この疑問に対する回答は既に、後の回答の中に書かれているのかもしれませんが、私、いっぺんにみなさまの回答を理解する自信がないので、この回答に関して私の意見を書きました。）

補足日時：2003/04/26 05:59

No.2 回答者： PAPA0427 回答日時： 2003/04/25 22:55

面積とボールは、長さの積や個数を求めていますね。

１０円玉の場合は、個数と金額が同列に論じられてます。

１０円玉の場合は、「４列×８行＝３２個」ですね。１個、１０円ですから、「３２個×１０円＝３２０円」ですね。

この回答への補足

>１０円玉の場合は、個数と金額が同列に論じられてます。

おっしゃっているのは、「縦と横をかけるときには個数どうしをかける必要があり、金額どうしをかけてはいけない。個数どうしをかけるべきところで金額どうしをかけているという点で、個数と金額を同列に論じてしまっている」ということでしょうか。

さて、お金の問題で、１０円玉でなくて１円玉だとします。この場合には、「縦に数えると４円、横に数えると８円で、４円と８円をかけて全部で３２円」というように、質問のボールの場合と同じように考えることもできそうです。この考え方は誤っているでしょうか。

私がご回答の意味を誤解していなければ、この場合も１０円玉の場合と同樣、縦と横とで金額どうしをかけているので間違いですよね。

補足日時：2003/04/26 07:44

No.3 回答者： sea-chiken 回答日時： 2003/04/25 22:55

４個×８個×１０円で３２０円だと思います。

うまく説明できないのですが、
(４個×１０円)×(８個×１０円)＝３２００円
という計算式では単位(円)を２回掛けてしまっているので正しくない。ということだと思います。

ボールのほうは頭でわかっていても文章に表すことができません。すみません。

この回答への補足

>うまく説明できないのですが、
>(４個×１０円)×(８個×１０円)＝３２００円
>という計算式では単位(円)を２回掛けてしまっているので正しくない。ということだと思います。

(４個×１０円)の「円」と、(８個×１０円)の「円」と、「円」が２回あるので正しくない、ということですね。

>ボールのほうは頭でわかっていても文章に表すことができません。

ボールでは、４個×８個＝３２個という式で、「個」を２回掛けています。
また、面積でも　４ｍ×８ｍ　というように、「ｍ」を２回掛けています。
（２回掛けるというのはそういう意味ですよね。それとも、掛け算の記号は１つなので「２回掛けている」とは言わないのでしょうか。）
「円」はいけなくて、「個」や「ｍ」は構わないのでしょうか。

お金の場合で、１０円玉でなくて１円玉の場合を考えてみます。
「縦に４円、横に８円。全部で、４円×８円＝３２円」
という解答は正しいでしょうか。

補足日時：2003/04/26 08:07

No.4 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/04/25 23:18

z12さん、こんにちは。

言葉で言い表すのって、難しいですね！

＞お金の問題
「縦に数えると４０円、横に数えると８０円。だから、４０と８０をかけて、答えは３２００円。」という考え方は正しいでしょうか。私は、間違えていると思います。

そうですね。このやり方は正しくないです。
何故かというと、お金と個数をごっちゃにしてしまっているからです。
縦に４０円分・・・これは、１０円玉が４個。
横に８０円分・・・これは、１０円玉が８個。
さて、縦４個、×横８個とならべた長方形の中に
何円分のお金があるのか？？？を計算するには、
「１０円玉が、一体、何個あるのか？？」を計算し、
それに×１０円、すればいいことになります。
縦４個、×横８個＝全部で３２個、ありますから
３２×１０＝３２０円ですね。

＞ボールの場合
上のボールの問題の場合の解答は、間違えではないですか？
なぜボールの場合は個と個をかけて個^2とはならないのでしょうか。

面積は、線分と線分で囲まれた領域の大きさです。
それには、長さ×長さ、の単位を用います。
例えば、縦１ｍ横１６ｍの長方形と
縦４ｍ横４ｍの正方形の面積は
１×１６＝１６m2と、
４×４＝１６m2なので、同じです。
これは、１ｍ×１ｍという正方形が、いくつあるか？？
と考えることができます。
どちらも、１６個の１m2の正方形があります。

一方、ボールの場合は、いくら長方形に並べても
数えるのは、ボールという点の数です。
領域の広さではありません。
そこで、並べられたボールという点を１個、２個・・と数えていくと
縦に４個、横に８個あるのですから、点は全部で
４×８＝３２あります。
だから、ボールの数も３２個となるのです。

この回答への補足

>一方、ボールの場合は、いくら長方形に並べても
>数えるのは、ボールという点の数です。
>領域の広さではありません。
>そこで、並べられたボールという点を１個、２個・・と数えていくと
>縦に４個、横に８個あるのですから、点は全部で
>４×８＝３２あります。
>だから、ボールの数も３２個となるのです。

ここでおっしゃっているのは、ボールの場合と面積の場合とがどう違うか、ですよね。
・点の数の場合は、～個と～個をかけて～個になる（単位が変わらない）
・領域の広さの場合は、～ｍと～ｍをかけて、～ｍにならずに～m2になる（単位が変わる）

おっしゃることはわかります。
人が縦４人、横８人の長方形の形に並んだとすると、全体の人数は
４人×８人＝３２人　で、単位は「人」のままです。これも確かに点の数ですね。

ボールは１個１個分かれているし、人も１人１人別々に分かれていますので、１、２、３、・・・と数えることができます。
しかし、面積の場合には領域の広さですから、ずうーとつながっていて、１、２、３、・・・とは数えられません。
確かにその点で、面積とボールとは違いますね。

ご回答にある通り、面積の場合にも
１ｍ×１ｍという正方形が、いくつあるか？？
と考えることができます。
１ｍ×１ｍの正方形を、１枚、２枚、３枚、・・・と数えることはできます。
しかし、その前の段階の１ｍ×１ｍの正方形を考えるときには、やはり領域の広さなので、ずうーとつながっていて、１、２、３、・・・と数えることはできません。

私はご回答のうちの、ボールの場合と面積の場合の違いのご指摘を、以上のように解釈しました。

補足日時：2003/04/26 19:33

No.5 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/04/25 23:26

たとえば１本１０円の鉛筆が５本でいくら？

というときは
１０円×５（本）＝５０円
というように求めたい単位のほうを前に書きます。

しかし実数の掛け算では交換法則が成り立つから
どちらでもいいよ、となります。
小学校ぐらいだと以前は順番も気を使っていたと思いますが
今はどうでしょう。よく知りません。

ボールの個数なら、たとえば
４個が８列で
４個×８（列）＝３２個
ですね。両方とも個数としているわけではありません。
（実際には同じになるんですけどね）

これが押さえられていれば、円と円の掛け算では無いことが
ご理解いただけると思います。

この回答への補足

おっしゃることはわかります。
>
>ボールの個数なら、たとえば
>４個が８列で
>４個×８（列）＝３２個
>ですね。両方とも個数としているわけではありません。

つまり決して「個数×個数＝個数」という計算をしているわけではないわけですね。

>これが押さえられていれば、円と円の掛け算では無いことが
>ご理解いただけると思います。

お金の問題の場合も、同樣に、「円×円＝円」（金額×金額＝金額）と考えてはいけないんですね。

補足日時：2003/04/26 19:52

No.6 回答者： papa0108 回答日時： 2003/04/25 23:28

掛け算の考え方は何が何個なるかを基準として考えればいいのです。

面積：１平方メートルという単位の広さが何個あるのか
ボール：１個という単位のボールが何個あるのか
お金：１０円という単位のお金が何個あるのか

そういう考えに基づいています。

ご理解いただけましたでしょうか。

この回答への補足

>掛け算の考え方は何が何個なるかを基準として考えればいいのです。

>面積：１平方メートルという単位の広さが何個あるのか

面積の場合、
４ｍという「長さ」と８ｍという「長さ」をかけると面積になる（　４ｍ×８ｍ＝３２ｍ^2　）
という考え方は誤りで、
あくまでも
１平方メートルが何個あるか（　１ｍ^2×（４×８）＝１ｍ^2×３２＝３２ｍ^2　）
と考えなくてはいけない、
という意味でしょうか

補足日時：2003/04/26 20:47

No.7 回答者： ticky 回答日時： 2003/04/26 00:55

こんばんは。

ボールの場合は、実は、
４個×８個＝……ではなくて、
４個のかたまりが８つ、
つまり、
４個×８＝３２個なんです。

お金の場合も同じです。
縦に４０円、これが横に８つ並んでいるから、
４０円×８＝３２０円
ですね。

このように考えていくと、面積の方が、例外的かも知れません。

まず、地面に４ｍの棒を縦において、
そして、真横にずずーっと、８ｍ引きずっていきます。
そうして、地面についた痕の面積は、
４ｍ×８ｍ＝３２ｍ＾２です。

（たぶんこの考え方であってると思うけど、例外がないか不安です。例外を思いついたら、また書き込みます。）

この回答への補足

>４個×８個＝……ではなくて

私もそういう感じがしてきました。
決して、個数と個数という同じものをかけているのではないんですね。

>このように考えていくと、面積の方が、例外的かも知れません。

そのようですね。
かけ算といえば、　
「（時速）×（時間）＝（道のり）」とか、
「（リンゴ１個の値段）×（数）＝（値段）」とか
いろいろありますけど、
普通、違うものをかけるようですね。
４ｍ×８ｍ＝３２ｍ^2という計算では、何ｍという「長さ」と何ｍという「長さ」という、同じものをかけています。この点で面積の計算は、例外的ですね。

補足日時：2003/04/26 21:11

No.8 回答者： ticky 回答日時： 2003/04/26 02:56

#7です。

先ほどの私の回答を見直していて、
４個のかたまりが８つというのは、
４個のかたまりが８個というのと、
何も変わらないことに気がつきました。

もしかしたら、～個とか、～つというのはほかの単位とは少し違うのかもしれません。
長さが８ｍというところを、長さが８といったのではよく分からなくなってしまいますが、
りんごが８個といっても、りんごが８といっても、意味は変わりません。この意味で、必ず必要というわけでなく、ｍとか円という「単位」とは少し正確が違うように思えます。

だらだら書いてごめんなさい！

この回答への補足

なるほどなるほど、「個」っていうものは、「ｍ」や「円」とは何か違うような気もしますね。

物を数えるときに、
紙だったら「枚」、
鉛筆だったら「本」、
動物だったら「匹」とか「頭」など、
人だったら「人（にん）」、
といったように、いろいろな言葉を添えますけど、
こういったものは「個」のほうの仲間のように思います。

それに対して、容積の単位のリットルとか、あるいは時間の単位の「秒」、角度の単位の「度」、・・・
こういったものは「ｍ」や「円」の仲間であるような気がします。

補足日時：2003/04/26 21:27

No.9 回答者： sokamone 回答日時： 2003/04/26 04:13

＞単位について考えてみると、面積の問題の場合にはｍ（メートル）とｍ（メートル）をかけてｍ^2になったのに、なぜボールの場合は個と個をかけて個^2とはならないのでしょうか。

このご指摘なかなか深いと思います。私の考えを述べる前に、数学のお話を。
　数学では集合の濃度という概念があります。集合とはもののあつまりのことですが、１，２，３・・・と番号をつけることのできるものを、「高々可算個である」といったりします。自然数の集合は当然高々可算個です。また、整数の集合も高々可算個です。またこれは驚かれるかもしれませんが、有理数の集合も高々可算個です。
　実数は高々可算個ではありません。このことを数学では実数は自然数とは異なる「濃度」をもつと考えます。また、2つの実数の組全体からなる集合は、実数とは異なる濃度をもちます。

　さてご指摘の問題に対する私の考えを述べます。長さ(ｍ）というのは実数の濃度をもつものの単位のひとつです。そして、面積は長さと長さの対と同じ濃度をもつので（これは認めて下さい）もう実数の濃度では無くなってしまいます。だから、異なる単位を用いるのが適当なのだと思います。問題は個＾２です！ボールや物の個数は有限個です。有限個数×有限個数もまた有限個数です。だから、濃度は変わらないのです。だから、あえて個^２という新しい単位をつくる必要はなく、どのように数えようとも単位は個のままです。個＾２という単位を導入することも可能だと思いますが、値は同じになります。

この回答への補足

ご回答は、かけ算一般について述べていらっしゃるのでしょうか、
それとも、　個数×個数＝個数　や　長さ×長さ＝面積　というように、同じ単位のものをかけ合わせる場合に限定しておっしゃっているのでしょうか。

時速（km/h）×時間（h）＝道のり（km）　のように、異なる単位のものをかけ合わせる場合にも、ご指摘のことは言えるのですよね？

ご回答の考え方によると、どうも、かけ算には次の３種類がありそうです。
・高々可算個×高々可算個　・・・　例　　個数（個）×個数（個）＝全部の個数（個）
・実数の濃度×高々可算個　・・・　例　　ボール１個の重さ（kg）×個数（個）＝全体の重さ（kg）
・実数の濃度×実数の濃度　・・・　例　　長さ（ｍ）×長さ（ｍ）＝面積（ｍ^2）

時速（km/h）×時間（h）＝道のり（km）　というのも３番目の「実数の濃度×実数の濃度」に入りそうですね。
そして、
１番目の「高々可算個×高々可算個」と２番目の「実数の濃度×高々可算個」では新しい単位は要らないが、
３番目の「実数の濃度×実数の濃度」では新しい単位が必要だ、
というのがご回答の考え方ですね。


私は次のようなことを思いました。
円周の長さを求める「直径×円周率＝円周の長さ」というかけ算は、３種類のうちのどれなのだろうか。

直径（ｍ）は実数の濃度だし、円周率（π）は実数の濃度ですよね。円周率は有理数ではありませんよね。
すると、「直径×円周率＝円周の長さ」というかけ算は、３番目の「実数の濃度×実数の濃度」に入りそうですね。
でも、直径の単位はｍだし、円周の長さもｍです。新しい単位は要らないですね。

補足日時：2003/04/26 23:04

No.10 回答者： DASS 回答日時： 2003/04/26 07:21

●ボールの場合

「縦４個、横８個」に並べた場合

　　ひとまず、縦の列を基準に考えます。
　　「縦に４個並んでいる」は、「縦一列につき、４個並んでいる」と言うことです。
　　そして「横に８個並んでいる」は、「縦に４個並んでいる列が、８列ある」と言うことです。
　　従って、正確な計算としては、

　　　　４［個（縦１列につき）］ × ８［列］
　　　＝ ４［個／列］ × ８［列］
　　　＝ ３２［個／列×列］←［／列×列］は、約分されます
　　　＝ ３２ 個

　　となります。
　　４［個／列］と言うところが難しいので、算数では教えにくいところなのでしょう。

●お金の場合
　　４０［円］ × ８０［円］ ＝ ３２００［円＾２（平方円とでもいうのでしょうか？）］
　　という計算は、問題の求める答えが「何平方円でしょうか？」ならば、正しいと思います。

　　しかし、問題の求めている答えは、「何円でしょうか？」ですので、答えも「何［円］」でなければなりません。
　　何円でしょうか？と言う問いに対し、全てが１０円玉で構成されているこの問題は、１０円玉が「何個あるか？」というように、意味を解釈しなければなりません。
　　なので、まずは「縦に４０円」を「縦に４個（１列につき）」というように直さなければなりません。
　　あとは上記と同じで、
　　　　４［個／列］×８［列］＝３２［個／列×列］＝３２個
　　今度は、個数から金額に直さなければなりません。
　　１０円玉が３２個あると言うことは、合計の金額は３２倍ということです。
　　３２倍すると言うことは、単純に３２をかけることであり、単位はありません。
　　　　１０円×３２＝３２０円

実際は、このような複雑な「単位の変換」＆「単位の計算」になるのです。

しかし、算数のレベルでこの「単位の変換＆計算」を教えていては、小学生には理解できないと思われるので、無理矢理「解き方だけを教える」ことになってしまうのではないでしょうか。

他にも「あんパン４個入りの袋が８袋あった場合」という問題であれば、
　　４［個／袋］×８［袋］＝３２［個／袋×袋］＝３２個
なのです。
一袋につき、と言うところが重要なのですね。

「時速」などは単位が［Ｋｍ／時］です。
単位が分数である物が世の中にあることを習うこともあると思います。
「時速４Ｋｍで８時間歩いたら」と言う問題は、
　　４［Ｋｍ／時］ × ８［時間］＝ ３２［Ｋｍ／時×時］＝３２Ｋｍ
です。

案外、「実は単位が分数である物」は多いのです。

●１つの車両に１００人の客が乗っている８両編成の電車には、何人の客がいますか？
　　１００［人／車両］×８［車両］＝８００人

問題に隠された本当の単位に気づけば、理解できるかと思います。

逆に面積の場合、「縦４ｍ」は、「１列につき」ではありません。４ｍのままです。
横の８ｍもそのままです。
そして求められている答えも、「何ｍ＾２でしょうか？」ですので、
　　４［ｍ］×８［ｍ］＝３２［ｍ＾２］
で良いわけです。

これが、「周囲は何ｍでしょうか？」と言う問題であれば、
　　４［ｍ／１辺につき］×２［辺］＋８［ｍ／１辺につき］×２［辺］
＝４Ｘ２［ｍ／辺×辺］＋８Ｘ２［ｍ／辺×辺］
＝２４ｍ
となります。

この「単位の理屈」を理解すると、上記の
　　４ｘ２＋８ｘ２
について、
「どうして足し算（２＋８）よりかけ算（４ｘ２や８ｘ２）が先なのか？」
がわかるようになりますよ。

この回答への補足

>●お金の場合
>　　４０［円］ × ８０［円］ ＝ ３２００［円＾２（平方円とでもいうのでしょうか？）］
>　　という計算は、問題の求める答えが「何平方円でしょうか？」ならば、正しいと思います。

問題が「１０円玉を、縦４個、横８個の長方形の形に並べました。何平方円でしょうか。」ならば、４０（円） × ８０（円）　という計算は正しい、ということですね。

さて、円に円をかけて出来る「平方円」というのはどのような意味でしょうか。
正しい計算だけれど、意味なんてありはしないんでしょうか。
（ひょっとして、円に円をかけるというのは、質問の「お金の場合」にその計算をするのは間違えだけど、円に円をかけること自体は間違っていなくて、何か隠された意味があるのでしょうか。）

どうも世の中には、長さに長さをかけると面積になるというような意味のあるかけ算と、
円に円をかけると平方円になるというような意味のないかけ算があるようですね。


>面積の場合、「縦４ｍ」は、「１列につき」ではありません。４ｍのままです。
>横の８ｍもそのままです。
>そして求められている答えも、「何ｍ＾２でしょうか？」ですので、
>　　４［ｍ］×８［ｍ］＝３２［ｍ＾２］
>で良いわけです。

ついでながらお教えいただきたいのですが、長さ以外で（重さでも容積でもなんでもいいんですが。）同じ単位のものをかけ合わせるかけ算ってありますか？（意味もあること）

補足日時：2003/04/27 01:06