高校数学と現代数学

高校で学ぶ数1～３、A～Cって、今日まで発展してきた現代数学の約何パーセントぐらいなのでしょう。

高校で数学を学びますが、それらをどう日常で活かすかしらないまま数学の学習を終えてしまう人が殆どなのですごくもったいない気がします。
数学のための数学知識なんて意味ないですからね。

また、高校数学、大学数学、研究の数学ではどう違いがあるのでしょうか。

No.7 回答者： HANANOKEIJ 回答日時： 2010/04/12 17:51

東海大学出版会「オイラーの贈り物」吉田武著、１８００円。

単行本が絶版になって、ちくま文庫も品薄で、ヤフーオークションで、五千円など、高値で取引されていました。需要がある本は、適正な価格で流通することが、のぞましいです。
現代数学ではありませんが、高校数学と大学数学の微分積分をつなぐ本としては、「虚数の情緒」とならんで、おすすめします。
吉田武さんは、京都大学工学部の教授(工学博士)です。
大学の数学については、数学の先生に聞いてみてください。理系の先生は、大学で数学を履修しています。物理と数学の先生が、くわしいと思います。
ヤフーオークションの数学の本の出品には、大学、高専での教科書らしい本がたくさん出品されています。
タイトルだけでは、内容がわからないので、購入をすすめません。
日本評論社「微積分演義　上　微分のはなし」蟹江幸博著、この本は、おすすめです。
現代数学社「初めて学ぶトポロジー」石谷茂著、絶版。「第３章、実数に連続性をさぐる」は、実数の連続性を説明する、解析概論の第１章、基本的な概念(１～３４ページ)を読むときに役に立つでしょう。
大学生なら、文系・理系を問わずに、ふれてほしいところです。哲学をやる人には、必修にしたいくらい、厳密で、哲学的です。
大いにお励みください。

No.6 回答者： HANANOKEIJ 回答日時： 2010/04/06 13:25

marikuro58 さんは、高校生でしょうか？数学に興味と関心があるのですね。

中学生のころ、角の三等分の作図問題に挑戦したり、高校でも、文系に振り分けられても、数学は好きだったので、数学IIIの教科書を最後まで読みました。大学入学後、最初に購入した教科書が、岩波書店の「解析概論」でした。
ヤフーのオークションで入手できます。改訂第３版、ハードカバー函入りを手に入れてください。
ヤフーのオークションに、志賀浩二さんの数学３０講シリーズ１０巻が出品されています。
大学の数学は、専門が違えば、本を書くこともないようです。志賀浩二さんの専門は、多様体(幾何学)なので、微分積分、線形代数、集合、位相の本を書くのはわかります。
「解析概論」を書いた高木貞治さんも、代数学の世界的な数学者でした。
「数学完全ガイダンス」数学セミナー編集部編著。この本を図書館で読んでみて下さい。大学でどんな数学の研究をしているか、すこしでもわかるかもしれません。
「数学セミナー」「理系への数学」月刊誌です。
「そのまま使える答えの書き方」という数学の本があります。「微積分と集合　そのまま使える答えの書き方」を図書館で読んでみて下さい。大学の数学の試験対策に、学生がカンニングペーパーを作るので、しょうがないから、答えの書き方を本にしたようです。
現代数学社から、数学の盲点シリーズ？がでていました。最近、復刊したようです。「ε－δに泣く」ほかに、あと３冊あります。石谷茂さんの本です。
ヤフーのオークションに数学ワンポイントシリーズが１０冊か１２冊出品されていました。これも盲点シリーズです。大学生がはまる、落とし穴を、どうやって回避するか。
絶版になったり、入手困難な本を古本屋で手に入れることも、必要になることがあります。
どこかで道に迷ったら、志賀浩二さんの「大人のための数学」を読んでみて下さい。見晴らしがよくなります。紀伊国屋書店から全７巻でているようです。
http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/
青空学園数学科、解析基礎は、大学１年の微分積分の講義みたいです。
大いにお励みください。

No.5 回答者： HANANOKEIJ 回答日時： 2010/04/04 07:23

図書館で読んで、必要なら(読みながら、どうしてもほしくなったら)購入したら、よいと思って、推薦図書を紹介しました。

他の回答者のかたも、高校数学と大学数学(現代数学)との間の、ギャップがあることを示唆しています。
高校数学と大学数学の橋渡し、つなぎの部分、ここに私の問題意識があります。
日本実業出版社「道具としての微分方程式」野崎亮太著、を読んでみて下さい。巻末に、推薦図書がのっています。わかりやすい数学の本が紹介されています。
数学の本は、ユークリッドの「幾何学原論」のように、定義、公理、定理、証明と体系的に書かれた本が多いです。公理主義？面白くないものです。
数学の講義をそのまま本にしたような、「現代の古典解析」森毅さんの本(ちくま文庫)もあります。
志賀浩二さんや遠山啓さんの本は、数学ができあがる過程、舞台裏を見せてくれます。
今から仕事です。続きは、明日。

No.4 回答者： ojisan7 回答日時： 2010/04/01 21:03

marikuroさんのご質問については、kabaokabaさんの回答で、全て尽くされているように思います。

でも、現代数学とはどういうものかについてイメージが湧かないと、説明されても納得することは難しいですね。このことについて、私が、つい数日前に、書店で購入した啓蒙書があります。 「輓近代数学の展望（ 秋月 康夫　著）ちくま学芸文庫」という文庫本です。ちょっとレベルは高いですが、たいへん面白い本です。この本を読めば分かりますが、「現代数学を理解するには、高校までに学んだ数学は、殆ど役立っていない」と断言することができます。大学数学は、極度に抽象の世界なのです。

「数学のための数学知識なんて・・・」ということですが、実際、数学を日常生活で生かす場面なんて、そんなにありませんね。私はここ何十年間生きてきて、分数の足し算を計算したり、一次方程式を解かなければならない場面に遭遇したことはありませんでした。でも、数学は面白いですね。本当に、奥の深い学問だと思います。

No.3 回答者： HANANOKEIJ 回答日時： 2010/04/01 09:40

現代数学の約何パーセント？小学校の算数で、割合を習ったでしょう。

元になる量、比べる量、高校数学の量として、高校数学の教科書６冊を指定します。では、現代数学の量をどう指定しますか？集合として、決められないですね。百歩ゆずって、「現代数学」という語を含むタイトルの本の集合と指定しましょう。割合は、１％未満でしょう。主観的予断と偏見です。
最初の質問が、答えられないという、いいわけです。
途中の３行の文章は、marikuro58 さんの、個人的な感想なので、質問としては、パスします。
最後の、”高校数学、大学数学、研究の数学ではどう違いがあるのでしょうか。”の質問については、
高校数学には、答えがある。大学数学は、深い哲学的な議論(無限と連続)が待っている。研究の数学は、今、問題をたてているところ、今、問題を解いて(証明して)いるところです。答えがあるかどうかわかりません。
せっかくなので、青空学園数学科を訪問してみてください。
http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/
「現代数学への入門」という、岩波書店の講座があります。高校の図書館にも、あるかもしれません。全１０巻２０分冊です。高校生にも読めます。
雑談ですが、高校数学を実際に使うには、物理学の力学、ニュートンの万有引力と力学的世界観を微分積分を使って学習することでしょう。有名予備校の物理の講義は、微分積分を使うことがあると思います。
「遠山啓のコペルニクスからニュートンまで」太郎次郎社、この本を読んでみて下さい。
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/suugakukiso/
秋山仁先生の授業です。
岩波新書「無限のなかの数学」志賀浩二著。ぜひ読んでください。
元気があれば、東海大学出版会「虚数の情緒」吉田武著、千ページの大著です。オイラーの公式を導きます。大いにお励みください。二点間の最短距離は、直線、地球上では大円(短いほう)です。犬でも知っています。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
今すべて購入しました！

お礼日時：2010/04/02 23:08

No.2 回答者： tsukita 回答日時： 2010/04/01 02:35

こんばんわ。

＞高校で学ぶ数1～３、A～Cって、今日まで発展してきた現代数学の約何パーセントぐらいなのでしょう。

どこからが現代、どこからが古典という明確なラインはありませんが、
結論から言ってしまえば、高校で学ぶ数学の殆どは古典数学です。


＞高校数学、大学数学、研究の数学ではどう違いがあるのでしょうか。

大学で数学や理科（物理・化学・生物・地学…）を専門に学ぶ人にとっては、高校数学（特に、微分、ベクトル、複素数、行列）は学習に直接結びつきます。ですので、そういった進路を考えている生徒は、数学の知識や計算技術をしっかり身につけておくとよいと思います。

大学では、線型代数学（ベクトルや行列の理論）や微分積分学が理系の学生にとって必須になります。大学では高校数学で学んだ数学を“より広い視点から体系的に”学びます。数学専攻の学生はその理論を、その他の理系の学生はその計算方法（実用面）を重視することになると思われます。高校で学ばなかった理論がたくさんありますので、楽しいと思えるといいですね。

研究の数学では、数学の未解決問題を解決することや実社会への数学の応用が目標になります。そのために論文を読み知識やアイディアを増やし、誰も見つけたことがない／証明したことがない事実を解明します。
ときとして、誰も考え付かなかったような数学的発想が必要になりますが、そうした発想こそが数学や現代の社会に大きな影響をもたらします。


さて…
＞高校で数学を学びますが、それらをどう日常で活かすかしらないまま数学の学習を終えてしまう人が殆どなのですごくもったいない気がします。

正直、普段の生活の中で高校で学んだ数学の知識が直接役立つ機会は少ないでしょう。ですが、数学を通して培われる力には、例えば、
・客観的に物事を説明する能力
・理論立てて話しを組み立てる能力
・具体的な考察を通して一般性を見出す考え方（帰納法）
・抽象的な性質を具体的な事象に当てはめる考え方（演繹法）
・作業をコツコツ正確に行う力
などがあります。数学の学習によって、知らず知らずのうちに、こういった論理的思考力が確かに培われています。

まとめると、

○一般の人にとって…
高校数学…論理的思考力、表現力

○大学で数学以外の理系科目を専攻する人にとって…
高校数学…論理的思考力、表現力、数学の基礎知識
大学数学…専門分野へのツールとしての数学

○大学で数学を専攻する人にとって
高校数学…論理的思考力、表現力、数学の基礎知識
大学数学…現代数学を理解するための基礎としての数学、
　　　　　数学的発想の素養の育成
研究の数学…未知の問題への挑戦、実社会への数学の応用

といった感じです。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/03/31 21:10

＞高校で学ぶ数1～３、A～Cって、今日まで発展してきた現代数学の約何パーセントぐらいなのでしょう。

主観でしか答えられない類のものですが，
まあ一割以下でしょう．

＞また、高校数学、大学数学、研究の数学ではどう違いがあるのでしょうか。

高校数学は一部例外もあるけど，
せいぜい17，18世紀までのもののうち
比較的簡単なものがベースでしょうか．
主に初級の微積分を念頭おいています

大学の数学になると。。。教養レベルだと
20世紀前半の内容を使って整備された18世紀くらいの微分積分と，
20世紀風に整理された抽象的な線型代数．
この二つを知らないと，現代数学は何もできない．
数学科にいってやっとこさ，
19，20世紀あたりに大爆発した
現代数学の入り口に入るかな．
位相幾何・多様体論・複素解析・
関数解析・代数（群・環・体）・
集合論・位相空間論あたりが基本かな．
けど学部程度だと，やはり現代数学の入り口，
言葉の段階に過ぎない．

大学院とか学部4年のゼミで専門的に始めて・・
やっと専門の論文を読むような感じ．
できる人はこの段階で「研究」になるわけで，
修士論文でいきなりすごいことやる人もでてくる．