大学入試でテーラー展開を使うのはあり？

某大学の入試問題ですが、(1)はテーラー展開で解けそうですが、大学で習うことを使ってもいいのでしょうか？

No.15 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/12 09:26

>どんどん本題からずれていっているなぁ。

本題は「大学で習うことを使ってもいいのでしょうか？」
と考えてます。テイラー展開はその一例かと。

No.14 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/12 00:26

どんどん本題からずれていっているなぁ。

自分が書いたNo.2の回答では「テイラー展開を使っても構わない」としたけど、これだけいろんな回答が出ているなら、
自分の回答を少し訂正し、「高校の数学の学習範囲で解答したほうが無難」に変更する。





以下回答者諸氏へ：
「高校学習範囲外の知識を正しく使うならOK」という話は厳密な使用条件や証明込みの話なの？
それであれば、入学試験に厳密な使用条件や証明を記載するのは時間の無駄なので、事実上使えないということになる。

一部の大学で出ている「使うべきではない、使ったら減点する」というのは、理由が明確でない。
個人の思いなのか、（その当時の）高等学校学習指導要領から外れているからなのか文面からでは判断がつかない。
前者であれば、主観が混じることになるので、採点者としての資格に疑問が生じる。
後者であれば、そもそも高等学校学習指導要領でない分野を入試問題に出すべきではない。

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/12 00:04

>さらに東北大学は

>「ロピタルの定理は使うべきではない。
>ケーリー・ハミルトンの定理は断りなく使うと減点する。」
>とあり，はっきりダメだということのようです。

はい、これが有名な東北大の「事件」で、当時騒ぎになりました。
後に発言した教授が入試に関与していないことがわかり、
問題となりました。

ただ、この発言が間違いかというと、東工大が釘を指している通り、
ロピタルの定理は極限の存在証明が
別途必要なので、解の予想には使えるけど、証明に使うと返って労力が増える上
存在証明を省略すると大減点になってしまいます。
「解答には」使うべきでない(不要)、というのはそう言う意味で正しい判断だと思います。
ケーリーハミルトンも、一言「断り」を入れればOKなのでは？

言葉が足りないとは思うけど、ここれくらいで真逆に意味を取られるのは可哀想。

それと、東大の言は、問題の文脈を考えて答えろということでしょうね。
例えば、ある基礎定理を基礎公理から導くことが出来るかを
試す問題で、上位の定理や等価な別定理から導いても点はくれないでしょう。

もし、文脈もへったくれもなく、ある問題では範囲外OK、
ある問題ではNG ということでは、完全な無政府状態だと思います。

No.12 回答者： xixixi 回答日時： 2020/08/11 22:24

No. 11さんに応えて，ちょっと検索したらつぎのようなものが見つかりました。

http://examist.jp/mathematics/general/scoring-sy …
いささか古い情報かもしれませんが，
No.11 さんが挙げられている「大学入試懇談会報告他から」とあります。

すこし抜き出すと，

東京大学では
「「高校範囲外の知識を用いてもよいか」「分母は有理化すべきか」「関数の連続性を断るべきか」など，一律の基準はなく，そのときに拠る。」
京都大学では
「高校範囲外の知識を用いても数学的に正しいなら問題ない。ただし，採点基準は相応のものになる。」
とあり，おっしゃるような「OK」ではないようですね。
さらに東北大学は
「ロピタルの定理は使うべきではない。
ケーリー・ハミルトンの定理は断りなく使うと減点する。」
とあり，はっきりダメだということのようです。

東京工業大学は
「ロピタルの定理など高校範囲外の知識でも正しく使えていればよい。」
となっていますから，ここでは確かに「OK」となっています。

ということで，
> どの大学も
>「学習指導要領を越えた知識を使っても，正しく使用出来ていればOK」
> ということになってます。
とはなっていませんね。

この程度のことは受験界ではよく知られているはずだと思っておりました。

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/11 21:32

>というのは，詳しくはお話しできませんが，こと数学に関しては事実ではありません。

是非その大学名を知りたいですね。本当なら受験業界を震撼させるでしょうし
学習意欲を削ぐ、教育目的とは真逆な採点基準の大学には誰も
行かなくなると思いますよ。

これが本当なら検定外教科書や副読本を採用して、指導要領外も広く教える
学校の生徒は受験に落ちるのでしょうか?

因みに、数学入試の採点基準のリーク元として有名なのは
日本数学教育学会の「大学入試懇談会」
今年はコロナで開催中止になってますが、各大学の採点基準などが聞ける
希少な懇談会で、会の性質上記事録等は残りませんが、
出席者の書かれたメモやpdfなどが
たまにネットに掲載されることが有ります。

これらを読めば東大、早稲田等、東工大、京大等、主だった大学の方針が
私の述べた通りであることは分かりますよ。

No.10 回答者： syotao 回答日時： 2020/08/11 16:34

テーラー展開を知ってるならｘ≧0のとき

e^ｘ-(1＋x＋x²/2)が正項級数だから≧0なのはすぐわかる。
この方向性を出しといて、
ｘ≧0ならe^ｘ≧1だから、この不等式の辺〃を0からｘ≧0まで2回積分すると
e^ｘ-1-ｘ≧x²/2　が出る。これから
e^ｘ-x²/2≧1＋x＞0したがって小問（1）が出る。

No.9 回答者： xixixi 回答日時： 2020/08/11 14:25

No.5 です。

無責任な回答がみられます。
> どの大学も
>「学習指導要領を越えた知識を使っても、正しく使用出来ていればOK」
> ということになってます。
というのは，詳しくはお話しできませんが，こと数学に関しては事実ではありません。
高校以上の知識を用いるなら，No.7 さんのお答えが適切ではないかと思います。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/11 11:26

大学入試の採点基準は昔から非公開ですが、

実際には各種の懇談会という形の交流会でリ―クされてます。(^_^;)
どの大学も

「学習指導要領を越えた知識を使っても、正しく使用出来ていればOK」
ということになってます。

一時期、一部の懇談会で、東北大の教授が「指導要領外は駄目」という発言が有り
受験業界を騒然とさせる事件が有りましたが、後に採点関わっていない
教授の無責任発言とわかりました。

同様の話は物理でも有り、高校では微積を使って力学を教えませんが
駿台等では微積を取り入れた力学を教えたりしています。

また、電子論を取り入れた化学を教えるのも、予備校では古くから行われていますね。

小学校では先まで予習して教えてない事を授業で使うと怒られたりしますが
大学受験ではそのようなことはありません。

但し、あなたがテ―ラー展開をきちんと使えるかは別問題。
x≧0の時をきちんと示せれば良いけど割と大変。
差の最小値>0を示した方がずっと楽でしょう。

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2020/08/11 11:03

テーラー展開そのものを使うのは許されないけど

テーラー展開を使って解答の方向性をみつけて
高校の範囲の論理で肉付けって感じならよい。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/10 22:38

大学入試では、高校教程の道具だけで解くという縛りがあるから、テイラー展開を使うのはアウト。

高校範囲でやるとすれば、テイラーの定理を使って、陽に剰余項を持ちだして計算する必要がある。
特に、極限計算が絡む場合には、べき級数展開の項別極限をとってよいかどうかが問題になるから、
「収束円内では広義一様収束だから項別極限可能」を習っていると仮定してもらえない高校生の
立場では、解析学の入門書の最初の２〜３章を答案中に書く覚悟がないと、テイラー展開は使えない。
つまり、本人が解ってたとしても、答案に使うことは現実的ではない。