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某大学の入試問題ですが、(1)はテーラー展開で解けそうですが、大学で習うことを使ってもいいのでしょうか?

「大学入試でテーラー展開を使うのはあり?」の質問画像

A 回答 (15件中11~15件)

高校の数学で解ける問題をテーラーの定理を使って解いても,正解者が他に誰もいないのでもないかぎり,採点では評価されないでしょう。


この問題は簡単なので期待しない方がよいと思います。
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テーラー展開を使うのは全く構わないけど(もちろん、証明なんか不要)、この程度の問題であれば、テーラー展開を使っても使わなくても(高校数学的に地道にやっても)時間的にはあまり変わらないんじゃないの。

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テイラー展開を使っても構わないよ。



まあ、高校生らしく解くというのであれば、
x=0のとき:
e^0=1
0^2/2=0
より、不等式が成立する。

x>0のとき:
x>0において、f(x)=e^x - x^2/2とすると、
f'(x)=e^x - x
f''(x)=e^x - 1

x>0においてf''(x)>0より、f'(x)は増加関数。
x>0においてf'(0)=1>0であり、f'(x)は増加関数であることから、x>0によりf'(x)>0が成立する。
よって、x>0のときf(x)は増加関数。

f(0)=e^0 - 0^2/2=1>0であり、f(x)は増加関数であることから、x>0によりf(x)=e^x - x^2/2>0が成立する。

ゆえに、x≧0において、e^x>x^2/2が証明された。
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テーラー展開をきちんと使わないとかえって面倒な気がしないでもないんだけど....



使わなくてもそんなに難しくないんじゃない?
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テーラー展開できることを証明してから使えばよいが、時間がかかることだろうwwww

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