No.4ベストアンサー
- 回答日時:
数1A的に解きたいなら、適当に補助線など加えて解けばいいのでは。
とりあえず、外接円の半径 R=(7√3)/3 および内接円の半径 r=√3 までは求まったものとします。
(#1さんの回答は正弦定理の式がちょっと間違っているのでRが正しくありません)
O, I からそれぞれ辺ABに下ろした垂線の足を D, E 、さらにOから直線IEに下ろした垂線の足をFとすると、
DはABの中点なので、AD=4
Eは内接円とABの接点なので、AE=(AB+BC+CA)/2-BC=3
∴ OF=DE=AD-AE=1
また、OA=R=(7√3)/3, IE=r=√3
∴ FE=OD=√(OA^2-AD^2)=(√3)/3
∴ IF=IE-FE=√3-(√3)/3=(2√3)/3
∴ OI=√(OF^2+IF^2)=(√21)/3
No.3
- 回答日時:
座標で考えました。
下の添付図を参照して下さい。左の図の通りAを(0,0)、Bを(8,0)とします。Cを(α,β)とすると
ACの長さに関して α^2+β^2=5^2・・・(1)
BCの長さに関して (8-α)^2+β^2=7^2・・・(2)
上記(1)、(2)の方程式を解き、
α=5/2
β=(5/2)√3
従ってACの式は
Y=(√3)X
ACの中点の座標は( 5/4 , (5/4)√3 )
ACの直角二等分線(緑線)の式は
Y=(-1/√3)X+(5/3)√3・・・(3)
ABの直角二等分線(水色)は
X=4・・・(4)
(4)を(3)に代入すると
Y=(-4/3)√3+(5/3)√3
=(1/3)√3
従って外接円の円心の座標は
( 4 , (1/3)√3 )
**************************
右の図で内接円のX座標をPとすると、円心から各辺の垂線で分割される長さは図の通り表されるので、
8-P=2+P より
P=3
線ACは長さ5に対してXは5/2増すので、円心からの垂線の足のX座標は3/2、従ってY座標は(3/2)√3 (緑)
従って上記垂線(緑線)の式は
Y=(-1/√3)X+2√3・・・(5)
円心のX座標は上記P=3なので、X=3を(5)に代入すると
Y=-√3+2√3
=√3
以上から内接円の円心の座標は
( 3 , √3 )
****************************
以上から求める答えは
OI^2=(4-3)^2+( (1/3)√3 - √3 )^2
=1^2+( (-2/3)√3 )^2
=1+4/3
=7/3
OI=(√21)/3
以上です。
No.2
- 回答日時:
>数IAの問題として出ていたので
平面幾何が数IAに分類されるからそのように分類されてるだけで、オイラーの定理を何故数IAから除外するのか?
数IAをベースとした、その上の知識に過ぎない。
オイラーの定理を使わずに、という質問なら話はわかるが。
オイラーの定理が駄目なら、ベクトルか座標になるだろう。
そちらの方が、数IIBの知識になる。
No.1
- 回答日時:
外接円の半径をR ,内接円の半径をrとする
余弦定理より
cosA=(CA^2+AB^2-BC^2)/2×CA×AB
=(5^2+8^2-7^2)/(2×5×8)
=(25+64-49)/80
=1/2
A=60°
三角形ABCの面積=(1/2)×8×5×sin60°=(1/2)×(8+7+5)×rより
10√3=10r
r=√3
正弦定理より
2R=8/sinA
2R=8/sin60°
R=8√3/3
内心と外心の関係R^2-2Rr=OI^2
OI^2=(8√3/3)^2-2×(8√3/3)×√3
=64/3-16
=16/3
OI=4√3/3
この回答への補足
[内心と外心の関係R^2-2Rr=OI^2]
というのがオイラーの定理で、
数IAの内容ではないと思うんですよね。
なので別の解法を知りたいです。
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