4点の座標がわかっているときの四角形の面積

平面上の4点の座標がわかっていれば、四角形の形状は一義的に決まるものでしょうか。もし、きまるものなら、その面積の算出方法について教えてください。
点A（Xa、Ｙa）
点B（Xb、Ｙb）
点C（Xc、Yc）
点D（Xd、Yd）
とします。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2013/04/11 09:33

No.3です。

添付したグラフの縦横の比率がおかしいので再送します。失礼しました。

この回答への補足

たくさんの方に親切に回答いただきました。ありがとうございました。みなさんをベストアンサーしたいのですが、今回はグラフ付きで解説くださった方をベストアンサーに選ばせていただきます。重ねてありがとうございました。

補足日時：2013/04/26 07:45

この回答へのお礼

ありがとうございました。エクセルで任意に打ち込めば自動で面積を計算できる方法はないでしょうか。エクセルには他のソフトからとりこんだ数値をそのままペーストして貼り付けるので順番が公式の適用できる順とは限らないのですが。

お礼日時：2013/04/12 09:21

No.8 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/04/14 10:46

Excel等で計算するときには次の方法も便利です。

4角形だけでなくn多角形に応用できます。また凸ではなく凹多角形でも使えます。
ストークスの定理（平面のグリーンの定理）を応用します。（面積分と線積分の関係）
∬dxdy=∮(xdy-ydx) 　　左側は面積分、右側は線積分です。多角形だ左側の積分がΣで整理できます。
具体的には、n多角形の頂点をP0,P1,・・・,Pn-1とします。またPn=P0とします。付番は左回りに付けます。
面積S=1/2Σ(Xi・Yi+1-Xi+1・Yi)　i=0～n-1 で計算できます。

例
Pi Xi Yi Xi・Yi+1 Xi+1・Yi
P0 1.0 1.0 0.5 2.0
P1 2.0 0.5 6.0 1.5
P2 3.0 3.0 6.0 3.0
P3 1.0 2.0 1.0 2.0
P4 1.0 1.0 13.5 8.5 S=(13.5-8.5)/2=2.5

この回答へのお礼

ありがとうございました。そんな定理もあったんですね。活用させていただきます。

お礼日時：2013/04/14 12:37

No.7 回答者： maitta26 回答日時： 2013/04/12 12:10

凸型の四角形ができる場合。

線分ABの方程式を求めます。f(x,y)=0とします。F(x,y)に点C、Dの座標をそれぞれ代入して、正負の符号を調べます。異符号になるとき、線分ABは対角線の可能性があります。次に線分CDの方程式を求め、ABとCDの共有点を求めます。この線分が交わるとき、ABとCDは対角線です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。教えていただいた方法を応用してなんとかエクセルで自動計算ができそうですね。

お礼日時：2013/04/13 01:03

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/11 17:38

A No.2 が普通だと思うが、二分割するよりも、

対角線の交点を原点にして、四分割するほうが、
私は好き。

この回答へのお礼

ありがとうございました。どの点とどの点を結べば対角線になるのか自動で認識できる方法があれば、エクセルに座標を任意に打込めば面積計算できそうですね。そんな方法もないでしょうか。よろしくお願いします。

お礼日時：2013/04/12 09:24

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/04/11 10:31

　４点が同一平面上にあれば、幾何で出せるでしょう。

　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　方法はいろいろあります。二つの三角形に分けて正弦定理やヘロンの公式で。
　交差する平面の場合も同様。

　平面でない曲面の場合も面積を出すなら、(平面も含めて)解析--方程式をつかって解くことになります。曲面の場合は曲面を示す式が必要です。例えば地球の表面上の４点とか・・

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2013/04/12 09:22

No.3 回答者： staratras 回答日時： 2013/04/11 09:25

具体的に4点の座標がわかっているのであれば、グラフに描けば、比較的容易に求められると思います。

添付したグラフは一例です。四角形ABCDの周囲に、四角形ABCDを取り囲む、各頂点が四角形の4頂点A、B、C、DのX座標、Y座標のうち最大と最小の値の組み合わせとなるような長方形EFGHを作ります。この例ではX座標の最大値はXd、最小値はXb、Y座標の最大値はYd、最小値はYcなので、DとHは一致します。

求めたい四角形ABCDの面積Sは、長方形EFGHの面積から4つの三角形EBA、FCB、GDC、HEAの面積を引いたものです。

S＝(Xd-Xb)(Yd-Yc)-1/2((Xa-Xb)(Yd-Yb)+(Xc-Xb)(Yb-Yc)+(Xd-Xc)(Yd-Yc)+(Xd-Xb)(Yd-Ya))

上の式は、４点A、B、C、Dの位置関係によって変わりますので、面積を求める万能の公式ではありませんが、具体的に４点の座標が与えられて面積を求めるのであれば、このやり方がわかりやすいのではないでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2013/04/12 09:16

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/04/11 08:22

対角線を引いて 2個の三角形に分割しそれぞれ面積を求めればいいというのは #1 の通りだけど, 座標が分かっているならヘロンの公式を使わなくてもいい.

原点O と 2点 A(a, b), B(c, d) からなる三角形の面積を計算してみればわかる.

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2013/04/12 09:15

No.1 回答者： tadys 回答日時： 2013/04/11 04:57

二つの点の座標が同じだったり、３つの点が直線上にあれば、４角形にはなりません。

上記の場合を除けば一義に決まります。

４角形に１本の対角線を引いて二つの３角形を作り、３角形の面積をヘロンの公式で求めて合算すれば求められます。
ヘロンの公式では辺の長さが必要です。
点の座標から辺の長さを求めるにはピタゴラスの定理を使います。

ヘロンの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD% …
ピダゴラスの定理
http://www.google.co.jp/#hl=ja&gs_rn=8&gs_ri=psy …

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2013/04/12 09:14