マイナス×マイナスがプラスになる理由を説明するには

もっとも数学から縁遠い人に、もっともわかりやすく
説明するにはどうすればいちばんわかってもらえるのでしょうか。
（と言っているわたしもよくわかっていませんが）

No.7 回答者： sinopusu 回答日時： 2003/10/23 12:09

こんにちは。

マイナス掛けるマイナスがプラスになるって不思議ですよね。

実際に問題を解いて考えてみよう。

仮定）１日に３本髪の毛が抜ける人がいます。今は全部抜けてしまいました。

問題）４日前は何本あったでしょうか？

解説）ここで４日前をどうあらわすかを考えてみましょう。カレンダーで言うと１日先（明日）は＋１（プラス１）とあらわされます。なぜか？１日の次は２日（１＋１＝２）だから。ここでは１日先ではなく１日前を表したいのでその逆、つまり１日戻してやります。戻すのは引き算ですので－１とあらわされます。ゆえに、４日前は－４(日)と

あらわすことができるのです。

次に３本抜けるはどうあらわされるか？同様に、３本増えるは＋３とあらわされます。増えること＝足し算。逆に抜ける(減る)ことは引き算で表されます。ゆえに３本抜けるは－３(本)とあらわされます。

では計算してみましょう。

今から４日前の髪の毛の量を求めるから「計算式(抜ける本数Ｘ日数)」より
(－３)Ｘ(－４)と掛け算になり
(－３)Ｘ(－４)＝１２（本）となります。

ゆえに答えは、この人は４日前には１２本髪の毛があった。となります。

ここで質問を確認すると、「どうしてマイナス掛けるマイナスがプラスになるか」ということ。

(－３)Ｘ(－４)＝１２　答えはプラスですよね。でも、もしプラスにならなかったらどうでしょう。３日前の髪の毛の本数がマイナスになりますね。つまり「今日、俺の髪の毛の本数(量)マイナス３本なんだぜ」って友達が言ってたらおかしいですよね。したがってこのプラスとマイナスの矛盾を数学の世界(？)では「マイナス掛けるマイナスをプラスにしましょう」という決まりごとがあるのです。

いかがでしょうか？
少しはお役に立てましたか？
小学校では出てこなかった負の数の計算（理科で出てきたかもしれませんが・・・）中学に入ってすぐこれですからね、誰だって戸惑いますよ。俺もその一人でした。特に負の数どうしの引き算とかいろいろと苦労した記憶があります。でも解らなかった事が理解できたときの嬉しさは、理解しようと努力した人の特典でもあります。高校のときは数学研究会(同好会)をつくりその活動の一環として「数学検定」という資格試験を受けました。もしあなたも数学に興味があれば、先生と相談し友達を誘って挑戦してみてはいかがですか？

稚拙な説明でありましたがこれを回答といたします。（おしまい）

この回答へのお礼

皆さんありがとうございました。
代表してこちらにお礼を述べさせていただきます。

いろいろご説明いただきましたが、ちょっと私には難しいようです。
もうすこし勉強しなおします。

お礼日時：2003/10/24 02:01

No.6 回答者： ticky 回答日時： 2003/10/22 23:22

プラスやマイナスの正体は、「方向」です。

（この意味で、マイナスは中学で出てくる概念ではあるけれど、ベクトル的です）方向といってもいろいろありますが、上とか、右とか、増えるとか、そういうのをプラスとしたときに、逆をマイナスというのです。
マイナスをかけるというのは、方向を逆にするということです。

例えば、（-4）×（-3）の計算をしてみます。
はじめに、あなたが立っていて、真正面がプラス、真後ろがマイナスの方向だとします。
あなたの足下が基準点(＝0)です。
まず、後ろを向きましょう。
足下から、まっすぐ進んで、長さが4（単位は何でもいいです）のところに、印を付けます。（印を付けたら、そのままバックして、はじめの基準点に戻ります。すると、あなたは後ろ（＝マイナスの方向）を向いているはずです）
これが、-4です。
次に、-3をかけます。
4×3は、4を3回足したものでした。
では、-4×-3は、どうするのかというと、次のようにします。
いま、あなたは後ろ（マイナスの方向）を向いているはずです。
また後ろを向きましょう。すると、あなたは前を向いています。
そして、まっすぐ歩いていって、先ほどの基準点から、長さ4の位置に印を付け、さらに長さ4進んだ位置に印を付け、さらに長さ4進んだ位置に印を付け、そのまま、バックして、基準点まで戻ります。
最後に印を付けた位置が、-4×-3の位置です。
足下からの距離は、12で、方向は、「前」ですので、プラスです。
後ろを向いていて、さらに後ろを向いたから、あなたはいま前を向いているのですが、これはそのまま、-×-＝+であることと対応しています。

……と説明するのが、一番いいと思います。
＃５の方の回答は、虚数の世界まで含めた場合の回答ですが、どちらにしても、プラスやマイナスというのは、方向のことなのです。

No.5 回答者： i536 回答日時： 2003/10/22 14:02

下記のような解釈もできます。

これだと代数演算での証明よりも直観的に理解できます。

－１を掛けるということは、ＸＹ平面の点を反時計方向に１８０°回転することです。
同様に、虚数ｉを掛けるということは、ＸＹ平面の点を反時計方向に９０°回転することです。

したがって、－１ｘ－１は
前の－１にしたがってＸＹ平面の点を１８０°回転後、
さらに後の－１にしたがって、さらにＸＹ平面の点を１８０°回転します。
結局、合計で３６０°回転し、元の値に戻ります。

また、－aをかけるということは、ＸＹ平面の点を１８０°回転後、
移った点をさらに原点を基点としてａ倍に拡大あるいは縮小することです。

No.4 回答者： puku02 回答日時： 2003/10/22 09:59

この質問は、数学者等だれも完全な説明ができない問題の一つだと学生のころ大学教授や数学教諭に聞いたことがあります。

そもそも「マイナス」という概念は数学上の辻褄合わせのために生じたものです。実際には実の世界でしかないわけですから、これを完全に証明することはできないのではないでしょうか。まだ、減算なら説明はできるのですが（実から実を減するから説明は簡単）、０（何もない）を超えた負の領域は、完全な説明は不可能でしょう。
　よく、この問題の説明では２次元の世界で「前＝プラス」、「後＝マイナス」という前提で説明する方法がよく採られますが、これはあくまでも０と言う起点をもつ（でも０という起点を納得すること自体が負の数を納得していることを意味しています。）前提条件が必要となります。そして、負の乗算の場合は－１と言う場所にいて、起点（＝０）から今の位置に到達した行動をまた基点から反対側に同量だけ行動する...等の説明となると思います。
　人ってまずは今いる場所が起点と考えるのが普通ではないでしょうか。そして、実際に行動する場合にはその行動自体がプラスではないか（だれも後ろ向きに歩くのは歩きにくくて仕方がないので、これも論理的な前提条件を持った説明でしかない）と思われます。

　となると、後は説明を聞く人がどのレベルの説明で納得してくれるかと言うことになります。

　・時間での説明
　・行動での説明
等、他の方が回答されているような説明をいくつか準備しておき、徐々にレベルを落としていって、相手の納得を得るぐらいしかないのでは・・・。

　回答になっておらず申し訳ありません。

No.3 回答者： 918BG 回答日時： 2003/10/22 06:31

オーソドックスなやり方になりますが、数学や物理でわかりにくい事柄を説明するには図で示すのが一番かと思います。

勿論、何でも絵さえ描けば良いという訳ではなく、どんな図を描くかを工夫することがポイントになる訳ですが、ツボにはまればその分野から縁遠い人にもわかり易い説明ができると思います。

一例として(あくまで一例です。もっと上手い図示の方法もあると思います)、一本の直線(線分)を引き、一定間隔の目盛りを刻んで説明してはどうでしょうか。

上下に伸びる直線でも、左右に伸びる直線でも良いですが一本線を引き、その真ん中に印を付けてゼロとします。ゼロの点から上または右の方向に、一定間隔の目盛りを刻んで１,２,３,４...と記入します。これがプラスの領域を表します。

今度は反対にゼロの点から下または左の方向に、同じ一定間隔の目盛りを刻んで-１,-２,-３,-４...と記入します。これがマイナスの領域を表します。

足し算というのは、ゼロを基点として上または右のプラス方向にその数だけ移動する事だと言えるでしょう。「２＋５」という足し算は、ゼロから目盛りふたつ分プラス方向に移動し、次に目盛りいつつ分プラス方向に移動して、結果的に７の目盛りの位置に到達したということになります。

これが引き算になると、マイナス方向に目盛りの数だけ移動することになるので、「２－５」という引き算は、ゼロから目盛りふたつ分プラス方向に移動し、次に目盛りいつつ分マイナス方向に移動して、結果的に－３の目盛りの位置に到達したということになります。

説明が長ったらしくなってすみません。お待たせしました、掛け算です。掛け算は、同じ方向に向かって「倍々ゲーム」をしていく事です。「２×５」という掛け算は、ゼロから２までの距離(目盛りふたつ分)を５回押さえて１０の目盛りの位置に到達する事、または、ゼロから５までの距離(目盛りいつつ分)を２回押さえて１０の目盛りの位置に到達したということになります。

マイナスの掛け算は、ゼロの点を中心にして、反対側の領域に反転することになります。「２×(－１)＝－２」という掛け算は、２の位置から反対側の領域に反転してマイナス２の位置に到達したということになります。

「(－２)×(－５)」という、マイナスが二つある掛け算は、わかり易く書き直せば「２×(－１)×５×(－１)」となります。これはゼロから２までの距離(目盛りふたつ分)が反対側の領域に反転して、ゼロからマイナス２までの距離(目盛りふたつ分)となり、それを５回押さえてマイナス１０の目盛りの位置に到達した後、再び反対側の領域に反転して１０の目盛りの位置に到達したということになるわけですが、どうでしょう。図上の各点を指で示しながらこんなふうに説明を進めたらわかってもらえそうですか?

No.2 回答者： eliteyoshi 回答日時： 2003/10/22 04:56

過去に同様の質問がありました。

11件回答があります。この中で分かりやすい回答はありますでしょうか？

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=326439

この回答へのお礼

投稿前にマイナス　プラスなどで検索したのですが
みあたりませんでしたので。（記号ですね・・・）
参考にさせていただきます。

お礼日時：2003/10/22 12:07

No.1 回答者： hetare_o 回答日時： 2003/10/22 04:16

こういう概念っって、「そういうもんなんだ」じゃなくて、

わかりやすく説明しようとすると難しいですね。
↓こちらのURLでは、いくつかの解説が紹介されていますよ。
僕が「コレはわかりやすい！」と思ったのは説明その２です。

参考URL：http://www.faireal.net/articles/7/05/#d30208

この回答へのお礼

おもしろいサイトがあるのですね。
有難う御座いました。

お礼日時：2003/10/22 12:05