円の回転

Question

こんにちは。苦手な図形に取り組んでおります。
よろしくお願いします。

ｘｙ平面上に原点を中心とする半径３の大円がありそれに接する
　半径１の小円が滑らずに大円の周りを2周する。
　小円の内部に図のように矢印が描かれている場合、
　この矢印は平面に対して何回回転したことになるか？

と言う問いなのですが１：３という事は単純に３周するのかと思いきや、
　解答は４周なのです。
　
　解答は角度で説明をしていたのですが今ひとつ理解出来ませんでした。
　（写真が２枚添付できなかったため、解答の説明なしですが大丈夫でしょうか？）
　どなかたご教授ください。よろしくお願いします。

nattocurry · Accepted Answer

大円の周と同じ長さの直線の上？を滑らずに移動、つまり転がるとすれば、矢印は3回転します。
ですが、転がる道路？自体が1回転しているので、その上を転がる円もその分多く回転することになります。

hrsmmhr · Answer

No３ですrは直径ということにしておいてください

hrsmmhr · Answer

小円の中心は大円を一周するまでに2π(3+1)r進みます
一方回る円周角をθとすると進む距離はrθ進むことになるので
θ＝8πで４周になると思います
多分大円２周だと８周になると思うのですが

noname#152422 · Answer

1番ですが、6-2=4は間違いで、6+2=8でした。
線分を元の円に戻すのは小円を転がすのと同じ向きでしたので。

大変失礼しました。

あなたがもっている解答が間違っている模様です。

Cupper-2 · Answer

考え方は良いのですが、致命的なうっかりが一つ。
大きい円を2周するんですよ。
ですので質問者さんの考え方であれば、本来は6周と言う答えが出ないと…。

■本題。
小さい円の大きい円に接する部分がちょうど半周した状態は図のようになります。
大きい円と小さい円が接する部分が、大きい円の円周の 1/6 の位置ですね。

あとは前のかたの解答を読むと質問者さんも気づくと思います。

noname#152422 · Answer

大円の1点を切断したものを2つ用意してつなげると、長さが2π×3×2の線分ができます。

その端Aから端Bまで小円を転がすと、小円は何回回転するでしょうか。

その回転数をnとすると、

2πn=2π×3×2

となります。これを解いてn=6となります。

大円の形状を元の円に戻すには、その長さ2π×3×2の線分の端Aを固定して他方の端B（今は小円が乗っかっている）をもって2回くるくる回転することになります。

これに伴って小円は2回回転しますが、AからBへ移動したときの回転とは逆向きになるので、トータルで6-2=4回転となります。

大円の周と同じ長さの直線の上？を滑らずに移動、つまり転がるとすれば、矢印は3回転します。