複素数列の極限

(1)(1+i)^n/n

(2)n{(1-i)/2}^n

で表される数列の極限を求めたいのですが、計算の仕方が分かりません。

(1)は発散、(2)は0に収束するのではないかなと思うのですが、少し怪しいです。

計算の仕方を説明をしていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/19 13:56

(1)

lim[n→∞] |(1+i)^n/n|
=lim[n→∞](1/n)((2^(1/2))^n)|e^(inπ/4)|
=lim[n→∞](2^(n/2))/n
=lim[n→∞](e^(n(log2)/2))/n
ロピタルの定理適用して
=lim[n→∞](e^(n(log2)/2))/1
=lim[n→∞]((log2)/2)(e^(n(log2)/2))
=((log2)/2)lim[n→∞](√2)^n
=∞
従ってlim[n→∞] (1+i)^n/n
の絶対値は∞に発散、位相はπ/4,π/2,3π/4,πの順に巡回し確定しないので、極限値は収束しない。

(2)
lim[n→∞] |n{(1-i)/2}^n|
=lim[n→∞] n|{(1-i)/2}^n|
=lim[n→∞] n|{(√2/2)e^(-iπ/4)}^n|
=lim[n→∞] n((1/√2)^n)|e^(-inπ/4)|
=lim[n→∞] n/(√2)^n
=lim[n→∞] n/e^(nlog(√2))
ロピタルの定理適用して
=lim[n→∞] 1/{log(√2)e^(nlog(√2))}
={1/log(√2)}lim[n→∞] 1/{e^(nlog(√2))}
={1/log(√2)}lim[n→∞] 1/{(√2)^n}
=0
絶対値が0に収束するので
∴lim[n→∞] n{(1-i)/2}^n=0

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/05/19 13:42

No.2です

(1)の表現がまずかった・・・
∞に発散ってのは正しいんだけど
無限遠点を考えてないとまずいかも．

だから単に「発散」の方がいいのかも．

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/05/19 13:40

この問題に関しては絶対値を取るだけで十分

(1)は
絶対値が 2^{n/2}/n なんだから∞へ発散

(2)は
絶対値が n/(2^{n/2}) なんだから0に収束

No.1 回答者： c0nfus1an1sm 回答日時： 2012/05/19 12:48

Inknprkさんの直感は正しいです．

1+i = sqrt(2)*(cos(pi/4)+i*sin(pi/4)) を代入すると(1)式は
(sqrt(2)^n)*(cos(n*pi/4)+i*sin(n*pi/4))/n
となり，この実部と虚部がnが無限大のときに発散（振動）するので，複素数列は発散します．

(2)も全く同様に実部と虚部に分けて議論でき，０に収束します．

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
(2)は
1-iを√2*(cos(π/4)-isin(π/4))
とおいて計算していくと、
(2)の式=n*((1/√2)^n)*(cos(n*π/4)-isin(n*π/4))
となり、実部と虚部が共に0に収束するから0に収束。
という解答で良いんでしょうか？

お礼日時：2012/05/19 13:23