∫(1/(2x))dx,ln[x]=ln[2x]?

∫(1/(2x))dx をときたいと思います。
この解き方には二通りあると思います。

(1)
1/2∫(1/x)dx= 1/2( ln[x] )+C

(2)
そのままとく
1/2(ln[2x])+C

このようにすると、　ln[x]=ln[2x]　となってしまいます。
この説明はどのようにすればよいでしょうか？
よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/12/07 13:21

>∫(1/(2x))dx をときたいと思います。

この解き方には二通りあると思います。
>(1)　1/2∫(1/x)dx= 1/2( ln[x] )+C
>(2)　そのままとく　1/2(ln[2x])+C
>このようにすると、　ln[x]=ln[2x]　となってしまいます。

(1) と (2) の C が同一値とは限りません。条件値など与えたときに、その差が歴然とします。

一例。
(1) x = e にて 1/2( ln[e] )+C = 0 → C = -1/2
(2) x = e にて 1/2( ln[2e] )+C = 0 → C = -{1+ln(2)}/2

　　

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/07 14:44

A No.1 の「定積分ならまだしも」に、核心があります。

不定積分ならではのモノといえば、積分定数ですね。
質問の二つの計算をみると、別々の積分定数に同じ文字 C を
使ってしまっている。こういうことをしてはいけない。
一次方程式の文章題を習ったとき、「クラスの男子を x 人、
女子を x 人とすると…」とは、しなかったでしょう？

(1) (1/2)∫(1/x)dx = 1/2( ln[x] ) + C1　と
(2) (1/2)∫(1/x)dx = (1/2)(ln[2x]) + C2　からは、
単に C1 = (1/2)ln[2] + C2 が結論できるんですよ。
ln[2x] = ln[2] + ln[x] ですからね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/12/07 12:17

不定積分における積分定数の扱いを再確認すべし.

答えとしてはどっちでもいいけど (1) の方がより簡単で望ましいといえる.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/12/07 10:52

(1) と (2) から, なんで「ln[x]=ln[2x]　となってしまいます」といえる?

定積分ならまだしも.

この回答への補足

なぜならないのでしょうか？

また、問の解としては両方とも正しいのでしょうか？

補足日時：2012/12/07 11:15

この回答へのお礼

否定されるだけでしたら、ここにわざわざ質問をあげた意味がありません。
根拠を述べてもらわないと不毛なやりとりとなります。

よろしくお願いいたします。

お礼日時：2012/12/07 12:50