相加平均、相乗平均、調和平均について

この三つの平均をどういった場面でどう使い分けるのかわかりません、教えてもらえませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： yuntanach 回答日時： 2006/03/05 06:01

具体的に使い分ける方法ではなく、いくぶん抽象的な

話になります。

平均の概念にはもう少し一般的なものがあります。
x_1からx_nまでのn個の平均をMとすると、
ある関数f(x)があって、f(M) = {Σf(x_i)}/n、
もしくは、y=f(x)の逆関数をg(y)として、
M = g({Σf(x_i)}/n)、
となるように平均の概念が一般化できます。
(ごちゃごちゃになるので省略しましたが、Σは
iが1からnまでの合計だと思って下さい。)

例えば、f(x)=xだとM=Σx_i/nとなってふつうの相加平均、
f(x)=log(x)だとM=(Πx_i)^(1/n)となって相乗平均、
f(x)=1/xだとM=n/Σ(1/x_i)となって調和平均となります。
他に、この一般化された平均の概念には標準偏差なども
関係してきます。μをx_iの相加平均としてf(x)=(x-μ)^2とすると、
M=μ±(Σ(x-μ)^2/n)^(1/2)となり、この±の後の
部分は標準偏差です。このことから標準偏差というのは
「平均からの差の平均」に深く関係したものであること
が分かります。

このようにf(x)の部分をいろいろと考えてあげれば、
他にもさまざまな「平均」が得られるかもしれません。

このf(x)とは、「意味の世界から(加算ベースの)数値の
世界への橋渡しをする関数」です。平均とは、
橋渡し関数のf(x)によって意味の世界から
いったん数値の世界へ変換した後、そこでふつうの足し
算で平均を計算し、f(x)の逆関数g(y)によって
またもとの意味の世界へ戻しています。つまり、
相加平均とはそのままの平均、相乗平均とは桁数の平均、
調和平均とは配分の平均のことなのです。

ここで、例えば、音の強さを考えてみます。
物理学や心理学の分野における知見として、
人間が感じる音は、目盛りが１増えると音の強さが
２０倍になっているということだそうです。
この２０という数値は経験的なものなのでそれ
以上はあまり意味はありませんが、要するに
音の強さを扱うときには、単純に足し算では扱うこと
ができず、目盛りが１増えるごとに倍数の２０を掛ける
ので、桁数に比例している量を考えることになります。
すると音の強さを平均するときには相加平均は使えず、
桁の平均考えたほうが良いことになります。つまり
相乗平均です。このようにして、この音の意味の世界
から数値の世界への橋渡しは原理的にf(x)=log(x)に
なり相乗平均を利用することになるわけです。

同様に順位や配分の問題だと、人間の感覚にマッチした
f(x)を考えようとすると調和平均に行き着きます。
順位の話などは各種平均の話のところではあまり
見かけませんが、考えてみると面白いでしょう。

個々の問題がどうなるかはケースバイケースでみない
となんとも言えませんが、上記の橋渡し関数が何で
あるかを考えれば多少は違った角度からみてなにか
分かりやすくなることもあるのではないでしょうか。

この回答へのお礼

平均はそうった意味があるんですね！ほんとうに分かりやすいです。ありがとうごうざいます。

お礼日時：2006/03/06 14:49

No.2 回答者： quantum2000 回答日時： 2006/03/04 07:25

具体的な例を挙げると，

(1) 相加平均の例：定期テストでの個人ごとの平均点とか・・・
　　一番一般的な「平均」

(2) 相乗平均の例：月別の物価上昇率について，それの例えば３か月間の平均値とか・・・
　　月別の物価上昇率が１月が１％，２月が３％，３月が９％　のとき，
　　３か月間の平均上昇率は，１３／３　％　ではなく　３％　となる！

(3) 調和平均の例：速さの平均値とか・・・
　　行きは時速３０ｋｍ，帰りは時速６０ｋｍ　で往復したとき，
　　全体での平均速度は，時速４５ｋｍ　ではなく，時速４０ｋｍ　となる！

例は色々とありますので，下記のｗｅｂページを参考にしてみてください．
（相加平均、相乗平均、調和平均　などで検索すると，沢山ヒットしますよ！）

ただし，この３つの平均を使い分ける見分け方などは，なかなかなさそうですね！

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/touke …
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mean/harm …
http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-obe/heikin …

この回答へのお礼

実際に、平均は（１）のケースしか使っていませんでした。具体例分かりやすかったです。ありがとうございます。

お礼日時：2006/03/06 14:53

No.1 回答者： Deerhunter 回答日時： 2006/03/04 04:47

相加平均（算術平均）は日常生活で一番よく使われる。

その他はちょっと専門的分野や統計などで使われるので、普通はそれほど気にしなくても良いと思われます。これらは相加平均ではうまく表現できない事象に適用されています。たとえば　ほとんどゼロから数百万に渡るような広い範囲のデータを扱う場合など、相加平均は大きな値に影響を受けるので、相乗平均（幾何平均）をつかうなど。ちょと難しいかも知れませんがこちらを参照してください。↓

参考URL：http://koko15.hus.osaka-u.ac.jp/~kanekiyo/pptstu …