分数や小数といったものは、数自体には意味は無く、文脈を伴って初めて意味を成すのでしょうか？

愚問で申し訳ありません。
例えば、「ケーキ100グラムを1/2」と「ケーキ1000グラムを1/2」では、両者とも同じ1/2だけれど、文脈（ここで云う文脈とはケーキのグラム）が違うため、同じ1/2でも、分割された量やその分割された内の１つの量は違うと云う認識でよろしいのでしょうか？

また、分数は、「一つのものをいくつ分割した内のいくつか」という意味ですが、例えば文脈により、ケーキを100グラムをひとつと捉えることもできるし、ケーキ1000グラムを一つと捉えることもできるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： l4330 回答日時： 2009/09/08 22:18

　

1/2は半分
「ケーキ100グラムを1/2」とは「ケーキ100グラムの半分」
「ケーキ1000グラムを1/2」とは「ケーキ1000グラムの半分」

100グラムも「ひとつ」
1000グラムも「ひとつ」
60平方メートルも「ひとつ」
「ひとつ」は数量だから重さや大きさは関係ありません。

　

この回答へのお礼

　丁重なご回答誠にありがとうございます。
数量や重さが関係無いと云う事で、私の疑問は晴れました。
本当にありがとうございます！

お礼日時：2009/09/09 19:39

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/09/09 10:40

分数や少数に限りません。

自然数についても、
例えば、「鉛筆を１本」と「鉛筆を１ダース」では、
両者とも同じ「１」だけれど、鉛筆の数は違いますね。
「ケーキ100グラムを1/2」と「ケーキ100トンを1/2」
でも同じこと。数だけの単独では、
現実の状態を表現することはできないのです。
そこには、数と現実の事物を結びつける
何らかの方法が必要です。多くの場合、
それは『～を１とする』ことで実現されます。
「ケーキ100グラムを1/2」なら、
ケーキ100グラムを１とした場合の1/2を、
「鉛筆を１ダース」なら、
鉛筆を12本を１とした場合の１を表現しているのです。
結果として、ケーキの量や鉛筆の本数が異なるのは、
数と事物を結びつける方法が異なっているからで、
数そのものは、どちらの場合も同じ意味を保っています。
その「意味」とは、比の値のことです。
「ケーキ100グラムの1/2」と「ケーキ100グラム」の
比は 1:2、
「ケーキ1000グラムの1/2」と「ケーキ1000グラム」の
比も 1:2。
この「比」が、意味として存在しているか否かは、
我々が比例という概念を持っているか否かと同義です。
私にとって、数「1/2」は明白に存在しています。
貴方にとっては、どうですか？

この回答へのお礼

　丁重なご回答誠にありがとうございます。
>私にとって、数「1/2」は明白に存在しています。
貴方にとっては、どうですか？

　今までの回答者の意見を見て私が思うに、「1/2」は数として存在していると思います。
今までの回答から、私の疑問は晴れました。
本当にありがとうございます。

お礼日時：2009/09/09 19:53

No.5 回答者： jiateng 回答日時： 2009/09/09 04:42

愚問ではありません。

基本的な概念ほど十分な考察の価値は高いです。
自分は工学系の院生なので専門家とは言えませんが、2,3思いつくままに書かせてもらいます。
・kfnorisuさんの「を1/2」は演算である、という指摘は尤もだと思います。その上で（あえて問題を増やしてすみませんが）、「ケーキ100グラム'の'1/2」「ケーキ1000グラム'の'1/2」を考えます。明らかにこれらの「1/2」に対応付けられたケーキの量は50gと500gで違っています。文脈によって同じ数に対して異なる意味（ここでは現実世界への対応付け）を与えることができる、というのが始めの問いに対する僕の答えです。
・さてタイトルの「数自体に意味があるかどうか」ですが、僕はあると思います。1/2は分数（有理数）ですが、有理数全体の集合の中で＜1000/1999より少しだけ小さく、1000/2001より少しだけ大きい＞という特徴を持った数です。
・現代数学は公理的集合論の上に構築されています。つまり、集合と要素を考え、これらの扱い方についてのいくつかの仮定（公理）からすべての数学が展開されていきます。その中でまず自然数の集合が定義され、自然数の拡張として整数が、次に整数の組として有理数が定義されます（さらに実数・複素数と続きます）。このような見方からご質問に答えると、「1/2とは有理数（という集合の要素）であり、1000/1999より少し小さい・実数の1/√2より大きい・複素数の0.5と同一のものである、といった種々の特徴によって捉えられる実体である」となります。
・つまり数学的には分数は、Cupperさんの嫌う「数字だけをいじる」どころかもっと抽象的なものにまで分解されてしまうわけですが、大事なのは私たちはそのような数を現実の物や事の量に対応付けて使うことができるということです。数にはそれ自体、数学的に厳密な言葉で語られる無味乾燥な意味がありますが、私たちは現実世界で出会う何がしかの量を表すために数を対応させている、ということだと思います。

・分かりにくい説明で申し訳ありません。最後に、一流の数学者が似たようなテーマについて、もっと分かりやすく説明した本を知っていますので参考欄にご紹介しておきます。エッセイに近いものなので軽く読めると思います。

参考URL：http://www.amazon.co.jp/1冊でわかる数学-ティモシー-ガウアーズ/dp/4000268732

この回答へのお礼

　丁重なご回答誠にありがとうございます。
＞文脈によって同じ数に対して異なる意味（ここでは現実世界への対応付け）を与えることができる

　このご回答を見て、僕の疑問は晴れました。
これからは、文脈に着目して、数を見ていきたいと思います。

お礼日時：2009/09/09 19:48

No.4 回答者： yanasawa 回答日時： 2009/09/09 04:14

＞同じ1/2でも、分割された量やその分割された内の１つの量は違うと云う認識でよろしいのでしょうか？

　1/2は数であり、どの場面で使われても同じ意味です。数直線で0と1のちょうど真ん中にあります。
　ただし、質問者様はそれを「割合」「比」として使っています。これは、相手の数があって初めて意味をなすものです。そういう意味で、文脈により・・・というのもまんざら間違っているわけではありません。


＞また、分数は、「一つのものをいくつ分割した内のいくつか」という意味ですが、例えば文脈により、ケーキを100グラムをひとつと捉えることもできるし、ケーキ1000グラムを一つと捉えることもできるのでしょうか？

　まず、例えば2/3は「３つ集まると2になる数」という定義？があります。まあ、どう考えても同値なので問題ないのでしょうが。
　質問者様の「意味」を見ても、やはり先ほどの「割合」「比」が暗黙の内に使われています。「一つ」というのは全体のことであり、全体を基準にした割合を分数で表しているに過ぎません。そういう意味で、質問者様の文章は間違っていないといえます。

この回答へのお礼

丁重なご回答誠にありがとうございます。
割合で考えた場合、量そのものは文脈により異なるけれど、割合として表現される数字は同じと云う認識でいきたいと思います。

お礼日時：2009/09/09 20:00

No.3 回答者： kfnorisu 回答日時： 2009/09/08 23:27

Cupperさんのおっしゃる通りだと思いますが、おさえたほうがよいと思うことがあるので回答します。

あくまでアドバイスですが。
まず数に「意味がある」というものがどういうものかを明示しないと議論がすこし曖昧になってしまうと思います。
　仮に、数に「意味がある」を「実際に一意に存在する」ととらえるならば1/2も3/2も対応する数があるので存在します。すなわち意味があるということになります。ただし、これは分数が数を示している場合に限ります。wantantonさんの質問にある1/2は数ではなく、演算と（数としての）1/2を合わせた関数を意味しています。正確には「を」伴ったほうがいいかもしれませんが、文章中の1/2は f(x)=x/2 という「対応」を意味しているということです。つまり、「対応」に対して「数」としての意味（これは未定義なのでよくわかりませんが）を考えたために混乱なさったのではないでしょうか？　「対応」そのものと「ある数との対応をとった結果」は混同しがちなので注意してください。

＞また、分数は、「一つのものをいくつ分割した内のいくつか」という意味ですが、例えば文脈により、ケーキを100グラムをひとつと捉えることもできるし、ケーキ1000グラムを一つと捉えることもできるのでしょうか？
に関してですが、この場合分数を完全に「対応」として見ていらっしゃることに注意してください。具体的には「ひとつのもの」と「いくつ分割した内のいくつか」の対応です。表現が正しいかはさておき、解釈上すでに分数が数ではないことが分かります。この対応に（正しくはないが）従い「一つのもの」と「ひとつ」を同一視するならば、「一つのもの」に対応の引数を入れることになるので、100グラム、1000グラムを「一つのもの」として扱うことになります。
　ただし、通常分数は（会話中は別として）「数」としてみなされます。つまり、
＞分数は、「一つのものをいくつ分割した内のいくつか」という意味
ではありません。分数の定義に関しては、調べたほうが正確なものが出てくると思うのでここでは書きません。

この回答へのお礼

　丁重なご回答誠にありがとうございます。
＞、「対応」に対して「数」としての意味（これは未定義なのでよくわかりませんが）を考えたために混乱なさったのではないでしょうか？
　はい、そのとおりだと思います。
数と対応を混同させずに、分けて、そしてつなげて考えていきたいと思います。

お礼日時：2009/09/09 19:44

No.2 回答者： Cupper 回答日時： 2009/09/08 22:30

1/2と言うのは、半分にするという意味です

意味のある言葉ですよ

数学的には 「 二分の一倍する 」 または 「 ０.５倍する 」 あるいは 「 ２で割る 」 と表現します
少数であれば、０.５リットルとか、０.５メートルとか定量的な数字もあります

数字だけをいじるのは、正直嫌いです
なにをするための計算なのかがハッキリしないと気持ち悪いです

ちなみに自分は小学生の時 「 1/2 って何を半分にするの…それだけじゃわからんでしょ 」 と
わけの分からない事をずっと考えていて、分数は苦手と言うよりも分かっていませんでした
（理解できたのは中学2年生のとある数学の時間
　1×1/2 の "1×" が省略されている…で目から鱗が落ちました…てか、遅いぜ自分）

この回答へのお礼

　丁重なご回答誠にありがとうございます。
私も、数字だけをいじるのは好きではなく、その数字の文脈が提示されて無いと、違和感を感じます。
数字自体に着目するのではなく、その文脈を意識するようにしたいと思います。

お礼日時：2009/09/09 19:42