「ドーナツとマグカップは同じ形」という学問とは？

分かりにくいタイトルで申し訳ありません。今から４０年近く前、中学３年生の最後の頃に学んだ数学の分野について、どんな学問なのか、お尋ねいたします。

確か「空間のつながり」とか、そんな名前の単元だったような覚えがあります。学んだのは、立体が無限に伸縮可能な粘土でできていると考えると、マグカップはドーナツやホースとと同じ形であり、湯呑みは皿やボールと同じ形だという内容だったと記憶しています。いろいろな立体について、検証したような覚えがあります。

その後、高校に進学しても、大学（文系）に行っても、同じような学問に出会いませんでした。しかも、４歳年上の夫（理系）は、中学から大学まで一度も勉強していないと言うのです。もちろん、ゆとり世代の息子たち（大学生・高校生）もぜんぜん学んでいません。

私が学んだあの単元は、数学の世界のどんな分野なのでしょうか。どうやらこの単元が教えられたのは、ほんの一時期だったようですが、女子中学生だった私は、新しい物の見方を知って、けっこう衝撃的でした。ご存じの方がいらっしゃったら、ぜひご教授下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： fine_day 回答日時： 2011/02/13 02:05

おそらく位相幾何学（トポロジー）のことだと思います。

物質がやわらかいものでできていると考えたとき、同じ形状にすることができればその形の本質同士は同じと言える、という内容だったのではないでしょうか。ドーナツとコーヒーカップの例えはよく出てきます。
参考にこちらをご覧ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8% …
http://homepage2.nifty.com/ToDo/cate1/topology1. …
http://www.kyoto-su.ac.jp/project/st/st01_01.html

20数年前に中学生でしたが、数学でこの分野は学びませんでした。
面白い分野だけに残念です。
（私が出会ったのは高校生になってから、図書館の本ででした）

この回答へのお礼

お返事が遅れて申し訳ありません。興味深いリンクをありがとうございました。

非ユークリッド幾何学にも関係がある単元だったとは、知りませんでした。大学の一般教養で非ユークリッド幾何学を取ったのですが、まじめにやらなかったのが悔やまれます。一見役に立ちそうもない学問でも、訳がわからないままほんの少し勉強しただけで、その後の私のモノの考え方にものすごい影響を与えました。リンク先にあった大学の先生の講義、受けてみたいです。

お礼日時：2011/02/14 11:52

No.5 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/02/13 12:29

位相幾何学は、大学の数学科へ行かないと教えてもらえないでしょう。

初歩の問題は「メビウスの輪」「クラインの壷」などで検索してみては？
余談ですが、半導体上の回路素子の配置・配線のことを「トポロジー」といいます。
つまり、工夫によって配線の交差を極力少なくするために位相幾何学が役立つからだと思います。
秋葉忠利さん(広島市長)から直接うかがったのですが、彼は位相幾何学の専門家だったそうです。

この回答へのお礼

お返事が遅れて申し訳ありません。

ＩＣ（←今でもこう呼びますか？）の上の、あのウネウネもトポロジーですか！　こういうところに役立つんですね～。私の日常生活には直接ぜんぜん役に立ちませんが、身近にその応用があるとは驚きです。

広島市長さんは異色の経歴ですね。トポロジーを駆使して効率のよい市政を行ってくれることでしょう（笑）。実際、冗談でなく、行政システムの構築にも役に立つかも……。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/02/14 12:22

No.4 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2011/02/13 09:56

すでに回答がありますが、トポロジーです。

今は大学の専門でようやく習うものですがこれを中学生でやってたことに驚きました！きっと正確な定義なんて出なかったでしょうが、おっしゃるとおり「無限に伸縮可能な粘土でできている」と解釈してまったく問題ありません。

自分の専門は結局解析になっちゃいましたが幾何の方が実は好きだったのでよく覚えています。

伸縮可能な粘土でできていると仮定して同じになる立体を「同相」と言いますが、では、ドラクエの東西、南北が同じようにループしているマップは、どんな形の星と同相でしょうか？
じつは球体ではなく、ドーナツなんです。言葉で説明するのは難しいですが、球体だとすると北極や南極が存在します。たとえば北に向かうなら、どんな点からもいつかは北極点に到達し、そのまままっすぐ行けば地球の裏側を逆に南下し始めるはずです。しかし、ドラクエは北に向かうと北極点などなく、ずっと北上し続けます。これは、ドーナツの切り口（切り口が円になるような方向で切ったとき）において、円周上の時計回りか反時計回りかのいずれかを「北」の方向と決めるようなものです。

伝わったかどうかわかりませんがとにかく興味をそそる分野でした。メビウスの輪やクラインの壺なんかもここで出ますが不思議な空間です。

この回答へのお礼

お返事が遅れて申し訳ありません。

大学で学ぶような内容を中学生で学んだとは、自分でも驚きです。どうして私の学年だけ（あるいは前後２～３年？）だけ学んだのでしょう。４歳年上の夫は、高校でも学ばなかったそうです。中学3年生の最後にチョコッと学んだだけで、実生活に役立ったこともありませんが、モノに対して新たな視点を与えてくれた単元でした。（余談ですが、メビウスの輪も大好きで、これまでに何度も作っています！）　ずっと文系で生きてきましたが、これを機に数学も勉強してみたくなりました。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/02/14 12:17

No.3 回答者： WiredLogic 回答日時： 2011/02/13 02:34

皆さんがおっしゃってるように、位相幾何学(トポロジー)だと思います。

私も、世代的には、質問者さんより、ちょっと上かと思いますが、確か、私の下の学年あたりで、課程が変わり、トポロジーではなかったと思いますが、次の学年はこんなこともやるそうだから、と、数学の授業の空いた時間に、プリントで、私たちの教科書には乗ってない変わった数学を教えてもらった覚えがあります(ハッキリは覚えてませんが、今思えば、ブール代数か何かだったような気が…)

アメリカで、New Math 運動という、小学生に集合教えるとか、そういう新世代の数学をやるのが流行していて、それで、文部省もそれに乗っかった、みたいな話ではなかったかと思うのですが…

大学では、数学科で、さらに、そちらを専門にした人だけが勉強するような分野ですが、基本的なアイデアは、普通の人にもわかりやすいので、色んな入門書が出ています。ただ、「位相幾何学入門」なんてタイトルにつられて買ったら、専門的入門書で、訳が解らなかったということもありそうですが(まぁ、どの分野でもそうか^^)

あのときの衝撃をもう一度噛み締めてみたい、と、お思いでしたら、「はじめてのトポロジー (PHPサイエンス・ワールド新書)」瀬山士郎 (著) という本をお勧めします。本当に中学生にも解るように噛み砕いて、入門・基本の考え方や、応用のされ方・最近、その道では騒がれたポアンカレ予想など、広い範囲の話題に触れてあり、なかなか楽しめる本だと思います。

この回答へのお礼

お返事が遅れて申し訳ありません。

今では大学で数学を専攻した学生しか学ばない分野なんですね～！　でも、中学時代に訳も分からずちょっと学んだだけで、その後の私のモノの見方に大きな影響を与えたような気がします。

私の学生時代は、今から思えばもっとも詰め込まれた時代のようです。詰め込み教育に弊害が多かったのは分かりますが、何でもかんでもとりあえず教えられたおかげで（特に理科や数学）、いろいろな世界を垣間見ることができました。ゆとり世代の息子たちは悲しいほどスカスカな勉強しかしていませんが、大切なものを学び損ねたような気がして、少々気の毒だと思いました。

お勧めの本、さっそくアマゾンに注文しました。ありがとうございました。

お礼日時：2011/02/14 12:03

No.1 回答者： ultraCS 回答日時： 2011/02/13 02:04

位相幾何学(トポロジー、topology)かな？

この回答へのお礼

お返事が遅れて申し訳ありません。早速の回答ありがとうございます。そんな難しそうな名前の学問だったんですね！

お礼日時：2011/02/14 11:44