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中学生で数学です。 √84nが自然数となるような自然数nのうち最も小さい値を求めなさい。 この問題を

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中学生で数学です。
√84nが自然数となるような自然数nのうち最も小さい値を求めなさい。

この問題を教えてください！

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A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： kairou
  • 回答日時：

√84n＝√(4×3×7×n)=2√(3×7×n) となりますね。


従って、(3×7×n) が、自然数の２乗になれば良い訳です。
中学では、自然数に 0 は含みませんから、n=3×7=21 となります。
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この回答へのお礼

詳しくありがとうございます╰(*´︶`*)╯

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お礼日時：2018/01/26 21:48

No.1

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

「84」がどのような数字からできているかを考えましょう。



84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7

これの倍数の平方根が「自然数」になるには、すべての素因数が「自然数の2乗」もしくは「自然数の偶数乗」になっている必要がありますよね。
つまり、一番小さい数は「2乗」のときで

　(2 × 2) × (3 × 3) × (7 × 7)

になります。

ということは
　n = 21
ということになります。

このとき

　84 × 3 × 7 = 1764

であり、

　√(84 × 21) = √1764 = √[(2 × 2) × (3 × 3) × (7 × 7)] = 2 × 3 × 7 = 42

ということになります。
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この回答へのお礼

おぉ！ありがとうございます(*^^*)

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お礼日時：2018/01/26 21:47

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Aベストアンサー

まずは864を素数に分解するところからはじめよう。
（素因数に展開とも言う。計算は省略…自身で計算してみよう）
これは数字の組み合わせを問う問題なので、素数にしておくと問題を解きやすくなるからだ。
（１から順にｎの値に数字を代入して計算しても良いが、効率が悪く1時間掛かっても解けないだろう）
すると、
1 ×2×2×2×2×2 ×3×3×3
になる。
そして、√(864/n)が自然数になるには、この式の中の「864」が上で求めた素数の2乗で示すことができる値になるようにｎを選択すれば良い。

どういうことかというと、
√(684/n)
が、nを適当な値にして、
√(2×2)＝√4＝2
にすれば良いと言うこと。
素因数に分解した結果を見るとこの先を考えやすいと言うことだ。

実際に求めた素因数を念頭に入れて考えてみる。

√1＝√(1²)＝1
　n=2×2×2×2×2 ×3×3×3

√(2×2)＝√(2²)＝2
　n=2×2×2 ×3×3×3

√(3×3)＝√(3²)＝3
　n=2×2×2×2×2 ×3

√(2×2×2×2)＝√(4²)＝4
　n=2 ×3×3×3

√(2×2 ×3×3)＝√(6²)＝6
　n=2×2×2 ×3

√(2×2×2×2 ×3×3)＝√(12²)＝12
　n=2 ×3

になるってこと。
すると、質問の図で丸く囲んだところの意味が分かるのではないだろうか。


そして、素数を掛け合わせた値が偶数になる場合は、
　偶数×偶数
　偶数×奇数
だ。
奇数になる値は、
　奇数×奇数
だ。
ならば、上記の値から「奇数の二乗」を除けば偶数になることが分かる。
すると、2，4，6，12になるときのｎの値が答えになる。


そんなわけでｎが864の時は間違いであることが分かる。
1は奇数だろｗ
と、突っ込みを入れられるくらい理解するよう努力しよう。

まずは864を素数に分解するところからはじめよう。
（素因数に展開とも言う。計算は省略…自身で計算してみよう）
これは数字の組み合わせを問う問題なので、素数にしておくと問題を解きやすくなるからだ。
（１から順にｎの値に数字を代入して計算しても良いが、効率が悪く1時間掛かっても解けないだろう）
すると、
1 ×2×2×2×2×2 ×3×3×3
になる。
そして、√(864/n)が自然数になるには、この式の中の「864」が上で求めた素数の2乗で示すことができる値になるようにｎを選択すれば良い。

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