位相集合 閉区間の無限和集合は開集合

Un=1から∞ [a+(1/ｎ),b-(1/ｎ)] の無限和集合は(a,b) であると
参考書にあるのですが
内点内部を使って頂ければ幸いです
宜しくお願いします

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/30 22:47

x ∈ U{n=1...∞} [a+(1/ｎ),b-(1/ｎ)]

⇔ ∃n≧1, x ∈ [a+(1/ｎ),b-(1/ｎ)].

a < a+(1/ｎ), b-(1/ｎ) < b より
任意の n について [a+(1/ｎ),b-(1/ｎ)] ⊂ (a,b) だから、
x ∈ U{n=1...∞} [a+(1/ｎ),b-(1/ｎ)]
⇔ ∃n≧1, x ∈ [a+(1/ｎ),b-(1/ｎ)] ⊂ (a,b)
⇒ x ∈ (a,b).

x ∈ (a,b) のとき、
n > max{ 1/(x-a), 1/(b-x) } となる自然数 n をとる。
そのような n は、アルキメデスの公理より存在する。
この n によって x ∈ [a+(1/ｎ),b-(1/ｎ)].
したがって、x ∈ (a,b)
⇒ ∃n≧1, x ∈ [a+(1/ｎ),b-(1/ｎ)]
⇔ x ∈ U{n=1...∞} [a+(1/ｎ),b-(1/ｎ)].

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます
よくはわかりませんがもっと分かりやすく教えて戴けないでしょうか

お礼日時：2020/07/01 21:23