一つの円において、弦が等しいと弧(劣弧、優弧どうし)が等しいことは証明で使えますか？

一つの円において、弧が等しいならば、弦は等しい。
ということですが、その逆は、弧が2つあるから言えないと分かります。

しかし、弧を優弧　劣弧と指定した場合、
1つの円において、弦が等しいならば、優弧どうし、劣弧どうしは等しいと言えるのではないでしょうか？

言える場合には、そのことを証明で使えるか教えてください。
言えない場合には、私にも分かるように(中学3年生までの範囲)で教えてください。

よろしくお願いします。m(__)m

質問者からの補足コメント

• 

  なぜこの質問をしたかといいますと、
  「円に接する正五角形abcdeをac be を結んだ交点をfとすると△afbは二等辺三角形になることを証明しろ」という問題がありました。（図がなくて失礼）（だいぶ省略しております）
  
  その場合、正五角形より　一辺の長さ(つまり弦)が等しいので弧も等しい
  よって円周角も等しいから、、、（省略）
  みたいな感じで証明をすることが出来るのか疑問で質問いたしました。

    補足日時：2020/11/22 15:18

No.4 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/22 15:27

言えるので、証明で使って問題有りません。

弧が等しい⇔弦は等しい、そのものを証明する問題でなければです。

弧が等しければ中心角が等しく、2等辺3角形が合同（2辺挟角）
∴弦は等しい

弦が等しければ2等辺3角形が合同（2辺挟角）、対応する中心角が等しいから弧の長さも等しい（弧の長さ=円周×中心角/360)
∴弦は等しい

この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございます。
やっぱり使えるですよねー
教科書になぜ載っていないのか疑問なんですよね、
補足の方も回答していただいたらありがたいです。

お礼日時：2020/11/22 15:32

No.11 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/22 16:26

>「円に接する正五角形abcdeをac be を結んだ交点をfとすると△afbは二等辺三角形になることを証明しろ」という問題がありました。

（図がなくて失礼）（だいぶ省略しております）

それであれば、円は意識する必要はないね。
正五角形の性質（5つの辺の長さ、内角、対角線の長さ）から証明するのが早い。

この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございます。
よーく考えてみると、確かに、その方が早かったです。
教えていただきありがとうございます。

お礼日時：2020/11/22 16:33

No.10 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/22 16:26

補足

弧の長さと　中心角の大きさは比例します
このことは
弧の長さ=直径xπx(中心角/360°)
という式から明らかですよね
少しだけ変形して
直径xπx(1/360°)=比例定数A　とおいてしまえば
弧の長さ=直径xπx(中心角/360°)=直径xπx(１/360°)ｘ中心角
⇔弧の長さ=Ax中心角
となるので　比例関係が分かるはずです
ゆえに　中心角が等しい=弧の長さが等しい　と言えます
まあ、でも弧の長さに触れると回りくどくなるのであまりいい答案にはならないと思いますよ・・・

この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます。
わざわざありがとうございます。
納得いたしました。
ありがとうございます。m(__)m

お礼日時：2020/11/22 17:31

No.9 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/22 16:03

中心角が等しい=弧の長さが等しい

これはその通りですが・・・
弧の長さにあえて触れる必要はないですよね

証明の例（一部省略あり）
円の中心をOとする
正５角形の各頂点から、それぞれ半径を引くと
△ABOと△BCOで
AB=BC(正５角形の辺は等しい）
BO=CO
AO=BO ・・・半径は等しい
３辺相当で合同
他の組み合わせについても同様に合同が言える
合同な三角形で対応する角は等しいんで
∠AOB=∠BOC=COD=DOE=EOA
ゆえに　中心角は５等分されて
∠AOB=360x(1/5)=72
他の中心角も同様に72度
円周角と中心角の関係から
弧BCの円周角＝(1/2)x弧BCの中心角=36度
ゆえに∠BAC=36度
同様に　∠ABE=36
底角が等しいので△ABFは2等辺三角形

このように証明できるはずです（中学の教科書の範囲を逸脱してはいません）

この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございます。
証明を丁寧にしていただき、(しかも中学3年生の範囲で)
ありがとうございます。<m(__)m>
助かりました。

お礼日時：2020/11/22 16:21

No.8 回答者： angkor_h 回答日時： 2020/11/22 15:59

No.3です。

> つまり、…　ということでしょうか？
半径の確定以前に、円弧と弦の関係は一義的です。
半径の値は、その実数を求めるために必要なだけです。

> 補足の方も回答していただいたらありがたいです。
派生的な(と言うか、新たな追加)質問は避けていただきたいところです。
他の方のご回答をご参照ください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
円弧と弦はただ決まるというような関係ですかね
質問を追加してしまい申し訳ございません。

次からは気をつけます。

お礼日時：2020/11/22 16:06

No.7 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/22 15:57

>>補足の方も回答していただいたらありがたいです。

これは△が合同になる事を言えば一番楽に証明できます。

下図で赤△≡青△を言えば、対応する辺AF=BFだから2等辺△。

赤●は弧ABに対する円周角だから等しい
青●は対頂角だから等しい
∴緑●も等しい

AE、BCは、同じ長さの弧の弦だから等しい。

2辺挟角が等しくなるので、赤△≡青△

∴対応する辺AF=BC

∴2辺が等しい△ABFは2等辺３角形。

この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございます。
図まで載せていただいてありがとうございます。<m(__)m>
確かにそっちの方が楽ですね。助かりました。

お礼日時：2020/11/22 16:14

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/22 15:38

５補足

さらに無難なのは
５頂点から中心に向かって半径５本を引きます
あらたにできた５つの三角形は合同なので
中心角は５等分になっている
という進め方です

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
つまり、中心角が等しい=弧の長さが等しいということですか？

その場合、証明でどういう感じで書けばいいですか
普通に正五角形だから弧は等しいみたいな感じですか？
何度も申し訳ないです。

お礼日時：2020/11/22 15:43

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/22 15:33

いや、そもそもそんな回りくどいことを考えなくても

正5角形の外接円なんで、対称性から５つの頂点は円周上に等間隔に存在していて
弧AB,BC,CD、DE,EAは等しいといえますよ

この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございます。
マジですか！
そこんとこよく分からないので、詳しい教えていただけないでしょうか？
理解力がなくて申し訳ないです。

お礼日時：2020/11/22 15:37

No.3 回答者： angkor_h 回答日時： 2020/11/22 15:13

円弧の長さは、それを挟む2本の半径線が成す角度を表します。

他方、二等辺三角形においては、
斜辺長と頂点角度が決まれば、底辺長が決まります。

後者を言いかえれば、
円の半径と円弧長が決まれば、弦の長さは決まってしまう、
世言う事になります。

この回答へのお礼

回答いただき、ありがとうございます。
つまり、半径と弧が決まれば弦は決まる
　　　　半径と弦が決まれば弧は決まる
ということでしょうか？
補足の方も回答していただいたらありがたいです。

お礼日時：2020/11/22 15:28

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/22 15:08

弦の長さが同じであればその弦に対する円周角は等しいので

弦の長さが等しければ対する劣弧の長さも等しい　といえそうです（優弧の長さも同様）
ただし、中学の教科書にはそのようなことの証明は書かれていないことでしょう
教科書に書かれていないことを、何の証明もなしに使うと
その根拠は？　とツッコミが入り減点されるかもしれません
もし、このことを使いたいなら答案の中で独自に証明してから使うほうが無難ではないでしょうか・・・

参考まで

この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございます。
そうなんですよねー
テスト等で使わないほうがいいのかぁ
補足の方も回答していただいたらありがたいです。

お礼日時：2020/11/22 15:28