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2階線形微分方程式 z''+4z'+25z=25uに対して、オーバーシュートを計算しなさいという問題があるのですが、どのように求めるのですか?
uも何なのか与えられていないのに解けるのですか?

A 回答 (2件)

雑な質問です。

RLC直列回路の過渡現象の対比で考えます。
uはステップ関数、z(0)=z'(0)=0 とします。

特性式は D=-2±√(4-25)=-2±j√21
したがって、一般解はよく知られたように
p=2 , w=√21 とおくと

z=1+exp(-pt)(Acoswt+Bsinwt)
となる。当然

z(∞)=1
となる。

0=z(0) から、A=-1
0=z'(0) から、B=p/w=2/√21
となる。
z=1+exp(-pt)(-coswt-(p/w)sinwt)

zのピークは
0=z'=-pexp(-pt)(-coswt-(p/w)sinwt)+exp(-pt)(wsinwt-pcoswt)
=exp(-pt){p²/w+w)sinwt}

したがって、wt=π だから、zのピークは z(π/w)で、オーバシュート


z(π/w)-z(∞)=exp(-πp/w)(-cosπ-(p/w)sinπ)=exp(-πp/w)
 =0.254
となる。
「2階線形微分方程式 z''+4z'+25」の回答画像2
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この回答へのお礼

ありがとうございます。uは問題文で与えられてない時はステップ関数で考えるのですね。

お礼日時:2021/05/21 22:02

問題に不明な点が2つ。


1) 「’」 は何の変数についての微分か?
2) 「オーバーシュート」の定義は何か?

u と「’」の変数との関係も必要になるでしょうね。
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