「お任せ！ 数学屋さん」

「お任せ！　数学屋さん」の中で台形を2等分するための計算がありますが初めの式が、最
終的に２次関数式になってますがここに至るまでのプロセスを教えていただけるとありがたいです。

宜しくお願い申し上げます。

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/01/26 07:42

補足を拝見し、No.3 のように回答しましたが、

同じ補足を読んで、No.2 さんの回答があり、
それで　smy789　の疑問が解決してしまうのですね！

僕は　smy789　さんの疑問を取り違えて説明していた
ようです

AM：MB ＝ n：（1 － n）

という置き方はあまり、目にしたことありません

でも、「AB を 1 として、AM を n としたんだな
とすると、AB の高さが h なら、AM の高さは hn だ」

と考えたくて、そう置いたんだなと読み進みました

そこが疑問だったと気付かず、ごめんなさい

【追伸】　僕が引っかかったのは

n（number）というのは、整数とか自然数に用いることが
多く、割合なら僕なら p（proportion） を使うだろうと
違和感ありました

また、上辺を p、下辺を q と置いてますが、
僕なら上辺を a、下辺を b の方が自然だと思います

この回答へのお礼

shuu_01先生、

更なるアドバイスありがとうございました。最初の私の説明が悪かったです。質問力を改善しないとだめですね。
教えていただいた別の台形の２分の仕方でもやってみたいと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2014/01/26 09:13

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/01/25 23:42

補足ありがとうございます

二等分線が　（１） 上辺と下辺を通る、（２）左辺（右辺）と下辺を通る、（３）左辺と右辺を通るに場合分けしないといけないのかと思うと、うんざりでしたが、今回は（３）、しかも、二等分線が上辺、下辺に平行な時だけなようで、僕の根気でも計算可能な範囲です

まず、上辺の長さ p、下辺の長さ q
左上（あるいは右上）の頂点を A、左下（あるいは左下）の頂点を B
面積を二等分する直線と AB の交点を M、AM：MB ＝ n：（1－n）
とおいたのですね

さらに、台形の高さを h とします

上記のようにおくと、別に角A、B が直角でなくても、普通の台形にあてはめても計算できます

面積を二等分する線の長さは

p ＋ （q － p） n となります

詳しく証明すると

その本では「台形の加重平均」 という言葉で説明してるようですが、
今回、台形を ABCD として、∠A、∠B が直角、
D から BC に垂線 DH をおろし、
二等分線と CD の交点を N、DH の交点を J とおくと、
△DHC と △DJN は １：n の相似、底辺 HC の長さは q － p
ですので、底辺 JN の長さは （q － p） n、
二等分線の長さ ＝ AD ＋ JN　＝ p ＋ （q － p） n

となっちゃいますが、頭の中では一気に出て来ます

その本では面倒臭いので 「加重平均」 ってことで説明したのだと思います

要はちょうど真ん中なら「普通の平均」 （p + q） / 2 ですけど、
A に近ければ p の長さに近く、B に近ければ　q　の長さに近くなるって程度に理解しとけば良いです

上の台形の面積 S1 は

上辺の長さ p、二等分線の長さ p ＋ （q － p） n、高さ hn ですので、

S1 ＝ 1/2・（p ＋ p ＋ （q － p） n）・hn

下の台形の面積 S2 は

S2 ＝ 1/2・（p ＋ （q － p） n ＋ q）・h（1 － n）

S1 ＝ S2 とすると、

1/2・（p ＋ p ＋ （q － p） n）・hn　＝ 1/2・（p ＋ （q － p） n ＋ q）・h（1 － n）

1/2・h で割って、

（p ＋ p ＋ （q － p） n）・n　＝ （p ＋ （q － p） n ＋ q）・（1 － n）

n について整理すると

2（q － p）n^2 + 4pn －（p + q） ＝ 0

p ＝ 45、q ＝ 60 の場合は

30 n^2 + 180n － 105 ＝ 0

15 で割って

2 n^2 ＋ 12n － 7 ＝ 0

n ＝ （－6±5√2） / 2

n ≧ 0 ですので、n ＝ （－6＋5√2） / 2

となります

ちなみに p ＝ q の時は n ＝ 1/2 となり、
とんでもない計算違いはしてなさそうです

【答え】 n は二次方程式
　　　　 2（q － p）n^2 + 4pn －（p + q） ＝ 0
　　　　を解いて得られます

No.2 回答者： RTakashima 回答日時： 2014/01/25 22:29

「a：b＝c：d」を変形すると「b／a＝d／c」になります（「／」は分数の線）。

この法則を利用するのだと思います。

「AM:MB=n:1-n」という式は、
「ＭＢ／ＡＭ＝（１－ｎ）／ｎ」に変形できます。
これをさらに変形すると、
「ＭＢ＝（１－ｎ）×ＡＭ／ｎ」となります。

これを「{45+(15n+45)}×AM÷2={(15n+45)+60}×MB÷2」に代入た上で、
両辺をＡＭで割ってみてください。

二次方程式を導けると思いますよ。

この回答へのお礼

RTTAkashima先生、

ありがとうございました。解決しました。AM:MB~の変形で分母と分子が逆だったのが敗因でした。
これで今日は眠れます。。

お礼日時：2014/01/25 23:33

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/01/25 13:56

「お任せ！　数学屋さん」 読んだことありません

台形を二等分する１番 簡単なのは 上辺の中点と下辺の中点を結ぶことです

上辺の中点から右（左）にずらしたい時は、ずらした分 下辺を左（右）にずらすと良いです

上辺の右側の角にぶちあたると、右側の辺に移りますが、２等分線のもう１つの交点が下辺で済む範囲と、下辺の右側の角をはみだし、２等分線が左辺、右辺と公差する場合とに分けて計算しなくてはなりません

「お任せ！　数学屋さん」 では、変数をどのようにおいて計算してますか？

それに応じて、自分で計算できると思います

要は台形と三角形の面積を足したし引いたりするだけです（面倒臭いけど）

この回答への補足

先生、早速のアドバイスありがとうございました。言葉が少な過ぎたのでもう少し書きます。
数学が得意な方であれば簡単にわかると思いますので教えてください。
本にあったのは台形なのですが片方が上底、下底ともに直角でありその中心から直角にその上下をA,Bとすると台形を二つの等しい面積に分ける線はABの中間（M点とします）当たりからABと直角に伸びていく。
「台形の加重平均の公式」というものを使っています。

A~Bの間にMというポイントを算出するというやり方らしいです。なのでAM:MB=n:1-nのところがM点。

二等分線r=(1-n)p+nq p:上底　q:下底

台形を二つに分けたそれぞれの面積は（以下の数値は単なる例で：上底=45m, 下底=60m）
台形の面積を求める式にそれを入れて、、

上の台形={45+(15n+45)}xAM÷2
下の台形={(15n+45)+60}xMB÷2

２つに分けた上と下の面積が等しいので、
{45+(15n+45)}xAM÷2={(15n+45)+60}xMB÷2
この式と
先ほどのAM:MB=n:1-n
を使って

2n^2+12n-7=0

という２次関数になる。ここまで分かれば後は解の公式でOK.

{45+(15n+45)}xAM÷2={(15n+45)+60}xMB÷2の式から2n^2+12n-7=0

になるまでのプロセスを知りたいと思ってました。すみません、台形のことより、この計算の仕方を教えて頂ければありがたいです。聞き方が悪くてすみません。。。汗

私がやるとどうもやり方が悪いみたいで上記の２次関数になりません。。。。

宜しくお願い申し上げます。

補足日時：2014/01/25 16:48