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自明でない解を持つとき、行列式│A│=0を利用し、二つの二次方程式の係数の条件を定める

独学で行列式について勉強しています。質問できる方が身近にいないのでここで質問させていただきます。

https://www.fastpic.jp/images.php?file=694707627 …
https://www.fastpic.jp/images.php?file=496601559 …
上の画像の問題の解き方について
どうしてそんな解き方ができるのかがわかりません。
どなたかおしえていただけませんか。

質問者からの補足コメント

  • 二つ目の画像がその条件です。

      補足日時:2017/03/31 16:48

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A 回答 (4件)

えっと, 要するに, こういうことでしょうか.



画像 2 枚目の等式が成り立つことは,
画像 1 枚目の 2 つの方程式が共通根をもつための,
必要条件であることは明らかだが,
十分条件になっているかどうか, けっこう怪しいですよ.

という解釈で, よろしいですか.

0 a b c
a b c 0
0 p q r
p q r 0

上の行列を A とすると, rankA ≧ 2 であることは明らかです.
rankA = 4 のとき, 共通根は存在しません.
rankA = 2 のとき, 2 つの方程式は実質的に同一なので, 共通根は存在するに決まっています.
よって, 調べる必要があるのは, rankA = 3 の場合です.
まず, 御自分で調べてみてください.
私自身で調べてみましたが, 意外と時間が掛かりました.
結論だけ述べると, 間違いなく必要十分条件になっています.
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うぅ~んと.... うん, 確かに証明できる.



一般論は面倒なので「『終結式』で検索するといいよ」と投げておこう.
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うーん...


お礼欄に書かれていることの意味が, よく分からないのですが...
少し複雑に考えすぎているのではないでしょうか.
以下の連立方程式を, 行列を用いて書き表してみてください.
それにより, あっさり解決すると思います.

0λ^3 + aλ^2 + bλ + c * 1 = 0
aλ^3 + bλ^2 + cλ + 0 * 1 = 0
0λ^3 + pλ^2 + qλ + r * 1 = 0
pλ^3 + qλ^2 + rλ + 0 * 1 = 0
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    • 1
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
記載してくださった式の行列式が0であれば自明でない解をλ³、λ² 、λ、1がそれぞれ持つことはよくわかるのですが、その行列式が0という条件は
ay+bz+cw=0
ax+by+cz =0
py+qz+rw =0
px+qy+rz =0
のx,y,z,wが自明でない解を持つ条件と同じということになります。
画像の問と
ay+bz+cw=0
ax+by+cz =0
py+qz+rw =0
px+qy+rz =0
のx,y,z,wが自明でない解を持つ条件は同じなのですか。

お礼日時:2017/03/31 19:19

あまり難しく考えなくても, 単に 1 ≠ 0 だから, という解釈で構いません.

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
二つ目の画像の条件式には未知数がλ³、λ²、λ、1という関係であることが反映されていないように思えます。
つまり
ay+bz+cw=0
ax+by+cz =0
py+qz+rw =0
px+qy+rz =0
が自明でない解をもつ条件というのが2枚目の画像であるとおもうのです。
x=λy=λ²z=λ³w=λ³ という情報が二枚目の画像にどうして織り込まれているのですか。
伝わりにくく、ごめんなさい。

お礼日時:2017/03/31 18:45

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……
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⊿ x=f(x+1)ーf(x) より
差分 x ^3=x 〔3〕+3 x 〔2〕+ x 〔1〕
差分 x^2= x 〔2〕+ x 〔1〕
差分 x= x 〔1〕
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Aベストアンサー

(和分・差分なるものを習ったことのない者です)
>⊿ x=f(x+1)ーf(x) より
つまり、xが1増えた時のf(x)の増加量を⊿xとしているわけですね。
f(x)=xを考えると、(1,2,3,4,5…→1,1,1,1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=1
f(x)=x^2を考えると、(1,4,9,16,25…→3,5,7,9…→2+1,4+1,6+1,8+1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=2x+1
f(x)=x^3を考えると、(1,8,27,64,125…→7,19,37,61…→6+1,18+1,36+1,60+1…→3+3+1,6+12+1,9+27+1,12+48+1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=3x+3x^2+1
ということでしょうか。

f(x)=x^4であれば、(1,16,81,256,625…→15,65,175,369…→14+1,64+1,174+1,368+1…→a+b+c+1,2a+4b+8c+1,3a+9b+27c+1,4a+16b+64c+1…
a+b+c=14
2a+4b+8c=64 2b+6c=36 b+3c=18
3a+9b+27c=174 6b+24c=132 b+4c=22 c=4 b=6 a=4
4a+16b+64c=368
⊿x=4x^3+6x^2+4x+1
どうやら係数は1-1,1-2-1,1-3-3-1,1-4-6-4-1…の奴と関係がありそう。

(2x+1)(2x+3)(2x+5)=8x^3+36x^2+46x+15
これが差分となる元の式を求めるのが問題。

(1/8) (2xー1)(2x+1)(2x+3)(2x+5)から逆算すると
=(1/8)(16x^4+8(-1+1+3+5)x^3+4(-1-3-5+3+5+15)x^2+2(-3-5-15+15)x-15)
=(1/8)(16x^4+64x^3+56x^2-16x-15)
=2x^4+8x^3+7x^2-2x-15/8

8x^3+36x^2+46x+15
=2(4x^3+6x^2+4x+1)+24x^2+38x+13
=2(4x^3+6x^2+4x+1)+8(3x+3x^2+1)+14x+5
=2(4x^3+6x^2+4x+1)+8(3x+3x^2+1)+7(2x+1)-2
この係数が2,8,7,-2であることが関係していそうです。

-15/8については、定数であるので、Cの一部と考えれる気がします。
つまり、式の形を整えた時にCの一部である-15/8を利用した?

ここまでの流れを順番に整理すると、
∮ (2x+1)(2x+3)(2x+5) ⊿ x
=∮ (8x^3+36x^2+46x+15) ⊿ x
=∮ (2(4x^3+6x^2+4x+1)+8(3x+3x^2+1)+7(2x+1)-2) ⊿ x
=2x^4+8x^3+7x^2-2x+C
ここで
2x^4+8x^3+7x^2-2x
=(2x^4+9x^3+(23/2)x^2+(15/4)x)+(-x^3-(9/2)x^2-(23/4)x)
=(2x^4+9x^3+(23/2)x^2+(15/4)x)+(-x^3-(9/2)x^2-(23/4)x-15/8)+15/8
=((1/4)x-1/8)(8x^3+36x^2+46x+15)+15/8
=(1/8)(2x-1)(2x+1)(2x+3)(2x+5)+15/8
なので、
∮ (2x+1)(2x+3)(2x+5) ⊿ x
=2x^4+8x^3+7x^2-2x+C
=(1/8)(2x-1)(2x+1)(2x+3)(2x+5)+15/8+C
=(1/8)(2x-1)(2x+1)(2x+3)(2x+5)+C
(15/8が定数なので、和分定数Cに含めた)

どうですかね?
基本の計算が分かっていないので、全然違う事してるかもしれませんが…

(和分・差分なるものを習ったことのない者です)
>⊿ x=f(x+1)ーf(x) より
つまり、xが1増えた時のf(x)の増加量を⊿xとしているわけですね。
f(x)=xを考えると、(1,2,3,4,5…→1,1,1,1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=1
f(x)=x^2を考えると、(1,4,9,16,25…→3,5,7,9…→2+1,4+1,6+1,8+1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=2x+1
f(x)=x^3を考えると、(1,8,27,64,125…→7,19,37,61…→6+1,18+1,36+1,60+1…→3+3+1,6+12+1,9+27+1,12+48+1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=3x+3x^2+1
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・ 感覚が身につく
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って言うのが大切です。抽象的な法則や公式は、抽象的なゆえに、実例を伴わず、感覚が得にくいもの。
丸暗記して、計算が解けるようになってから、本当はこういう意味なんだ・・・って覚えるのが本質。

高等教育では、みんな自然にそうやっている。物理学の最先端だって、使えるものが使った後、問題が
とけらたら、本質の意味を問い直す。そんなアタリマエのことが、なぜか、意味を考えましょう・・・
になってしまう。変な話です。

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・2枚重ねて、等分しても

もらう量は同じだよね・・・・とか、自然に意味がついてくるものです。

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専門家でもない限り、まずは暗記と、練習問題による経験。暗記や詰め込みはよくない・・・って、勉強をしたことがない人の意見です。
暗記や、つめこみのなかで、自分が感覚的に見出したものが、本当の考えるもとになる、知識や知力になります。

法則に理屈をつけて理解させるのは、間違いだと個人的に思っています。

・ まず、法則として覚えさせる。
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丸暗記して、計算が解けるようになってから、本当はこういう意味なんだ・・・って覚えるのが本質。

高等教育では、みんな自然にそうやっている。物理学の最先端だって、使えるものが使った後、問題が
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Aベストアンサー

>自分の解釈が正しいか見て頂けませんか?

うーん、
まあそうだよ(^^;
---

まずは教科書の
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「用語」の意味をシッカリ確認すること。
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シッカリ把握すること。
そして
演習問題もシッカリやることだよ。

とにかく「自分の頭で」用語の定義をとらえ、
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教科書読んでもわからないなら
先生に質問すること。

http://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0121.html
http://www.ftext.org/text/subsubsection/1036
---

教科書シッカリ把握したら
こういうのも読むといいかも。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/houhou/houhou02/node9.html

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(よくわからなければ、先生に聞くこと)
http://examist.jp/mathematics/class/futousiki-meidai/

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Aベストアンサー

合ってる。

(線形独立・線形従属の定義)
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