極・特異点の求め方

すみませんが、以下の関数の極はひとつがz=1というのはわかるんですが、あとはexp(z)+1=0から導けると思うのですが考え方がよくわかりません。

　　　　1
-------------------
　(exp(z)+1)(z-1)^2

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/08/24 18:16

>exp(z)+1=0…(1)から導けると思うのですが考え方がよくわかりません。

考え方はあっていますので
#1さんがアドバイスされたようにz=x+iy（x,yは実数)とおいて
オイラーの公式を使って
f(x,y)+i g(x,y)=0
という形に整理して下さい。
そして
f(x,y)=g(x,y)=0…(2)
の連立方程式を解いて
実数の組(x,y)を求めれば
z=x+iy
という極が求まります。

連立方程式の解の組は
(x,y)=(0,(2n+1)π)となってz=i(2n+1)π,nは整数
となりますので計算してみてください。

No.2 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/24 18:10

こんにちは。

z=iπ でexp(z)=-1になるのは知っていますよね。

exp(iπ)=cos(π)+i sin(π)=cos(π) = -1

あとは、exp(z)の周期性を考慮して、位相が2πiの整数倍だけずれたものもこれを満たすので、

z=(2n+1)πi （nは整数）

で、exp(z)+1 = 0 になります。

実際、nが整数なら、

exp((2n+1)πi) = exp(2nπi)exp(πi)=1・(-1)=-1

ですね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/08/24 17:26

ほとんど一瞬でわかるけど, わからなければ z = x + iy (x, y は実数) とおいて exp z を x と y の式

で書いてみる.