x，y∈N x^3+y^3=(x+y)^2 x、yを求めてください。

x，y∈N
x^3+y^3=(x+y)^2

x、yを求めてください。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/07 20:09

(x,y)=(a,b)が解なら(x,y)=(b,a)も解であることに注意して、y=0,1,2について検討すると、(x,y)=(0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2), (2,2)が解なのが簡単にわかる。

　次に、y≧3のときに解があるのかどうかを考えると、自然数解どころか実数解すらないことがわかる。方針だけ示すと
　　f(x) = x^3 - x^2
　　g(y, x) = 2yx - (y - 1)y^2
とおくと問題は連立方程式
　　z = g(y,x)
　　z = f(x)
で表せる。 z = g(y, x)はyを定数だと思えば直線。また、z = f(x) は(x,z)=(0,0)を通り(1,0)でx軸と接する（おなじみの）三次曲線。この曲線にx≧1で接する接線でz=g(y,x)と平行であるものをz=h(x)とし、y≧3のときにg(y,x)＜h(x) であることを言えば良い。