サイコロをn回振るとき、出なかった目の個数の期待値を求めよ。 という問題なのですが、答えが妙に綺麗な

サイコロをn回振るとき、出なかった目の個数の期待値を求めよ。

という問題なのですが、答えが妙に綺麗な値になるのが何故なのか気になっています。
うまく考えると目から鱗の解法があるのでしょうか？


参考
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/7230492.html

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/02/23 21:50

すみません。

「奇麗」の概念について以下のようにコメントしてみえましたね。

>nを含んだ綺麗な値という意味です。


たしかに、ｎ＝６以上では、ｎの関数としてまとめることは可能ですが、長い式になりますよ。
なぜなら、出る目は１個～６個の場合があり、それぞれの度数から期待値が計算するしかありません。よって、６項の積和を含む式になります。
そして、出る目の個数の期待値を６から引けば、出ない目の個数の期待値になります。

また、ｎが５以下の時は一般項化できません。

それを奇麗とはなかなか言いづらいと思います。

この回答へのお礼

いえ、その長い式はよくよく計算すればかなり簡潔な形になります。5以下も含んだ一般項として書けます。

参考にあげたページはn=4の場合の出る目の個数の期待値ですが、
6-671/216
=(1296-671)/216
=625/216
=5*(5/3)³
となっています。
他のnでも同様に書けます。

お礼日時：2022/02/23 22:11

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/02/23 21:17

奇麗な数になんかなりませんよ。

理屈で考えれば、
ｎ＝１のときは５個だし、
ｎ＝∞のときは０個に漸近しますよね。
#1様がおっしゃるとおり、ｎ依存です。

Ｒのスクリプトを書いて計算しました。ｎ＝∞はできないから1個から1000個までやりました。
重複組合せの公式を使っています。

結果は添付図のとおりです。上記の予想とおりになったのですが、間違いがあるかもしれません。

～～～～～～～～～～～～～～～～

# サイコロをn回振った時、出ない目の個数の期待値

expectation <-NULL

for(n in 1:1000){

# 度数表を作る

table <- NULL

for(i in 1:ifelse(n < 6, n, 6)){

nn <- i + n - 1
count <- choose(6, i) * choose(nn, n)

table <- rbind(table, data.frame(i = i, count = count))

}

# 度数表から出る目の期待値を算出し６から引く

table$ratio <- table$count / sum(table$count)
expectation[n] <- 6 - sum(table$i * table$ratio)

}

plot(1:1000, expectation, xlab = c("n"), main = c("サイコロをｎ回振っても出ない目の数の期待値"))

この回答へのお礼

ええ、nに依存するとは思います。
しかし、nの極めて単純な式で表せられると予想しています。

nの極めて単純な式になるのは、何かうまい理由があるのですか？という質問なのですが…。

お礼日時：2022/02/23 21:29

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/02/23 10:48

＞サイコロをn回振るとき、出なかった目の個数

どういう意味ですか？

「出なかった目」とは
たとえば「３が出た」ときには、「出なかった目」は「1, 2, 4, 5, 6」ということですか？

「サイコロをn回振るとき、出なかった目」とは
「n 回振って、3が一度も出なかった」場合に「３」ということですか？

「目の個数」とはなんですか？
「一度も出なかったのは３と５」というときに「2個」ですか？


＞答えが妙に綺麗な値になる

どういう意味ですか？
「n 回振って」という「n」がある以上、答は「n を含んだもの」になると思いますが？

この回答へのお礼

>「出なかった目」とは
たとえば「３が出た」 ときには、「出なかった目」は「1, 2, 4, 5, 6」ということですか？

そうです。


> 「サイコロをn回振るとき、出なかった目」とは
「n 回振って、3が一度も出なかった」場合に「３」ということですか？

そうです。


> 「目の個数」とはなんですか？
「一度も出なかったのは３と５」というときに「2個」ですか？

そうです。


>「n 回振って」という「n」がある以上、答は「n を含んだもの」になると思いますが？

nを含んだ綺麗な値という意味です。


参考になりそうなページも貼っておりますので、そちらもご覧下さい。

お礼日時：2022/02/23 11:44