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アキレスというタイヤと亀というタイヤがあるとします。

以降、単にアキレスと亀と言います。

アキレスと亀は、地面を転がって競争します。


角速度は一定で、どちらもωです。
(スタート時も既に走っています)

アキレスの半径は2rで、亀の半径はrです。

亀は、アキレスよりもLの距離だけ前方からスタートします。


さらに、もうひとつハンデがあります。

アキレスの体の寸法は、走りながら小さくなっていきます。だから、アキレスの半径が2rというのはスタート時だけです。具体的に、どうなるかというと、一定の時間を過ぎると、もとの長さの半分になります。ただし、急に小さくなるのではなく、連続して小さくなります。このようなアキレスの「半減期」はTとします。

質問。
アキレスが亀を追い越せないためには、Tはどのぐらいでなければいけませんか。

質問者からの補足コメント

  • 追記。

    アキレスが永久に走るとしたら、到達距離は、収束しますか。発散しますか。収束するとしたら、その距離を教えてください。

      補足日時:2023/05/31 10:32

A 回答 (5件)

アキレス、亀の速度をVa,Vk、移動距離を La,Lk とする。



 Va=2rw2^(-t/T), Vk=rw
すると、追いつくには
 Va>Vk → 2・2^(-t/T)>1 → t<T
つまり、T未満の時間でないと追いつけない。

また
 La=∫[0,t] 2rw2^(t/T)dt=(2rwT/log2){1-2^(-t/T)}・・・①
 Lk=rwt+L
したがって、t=Tのとき
 La≦Lk
だと追い越せない。すると
 (2rwT/log2){1-2^(-T/T)}≦rwT+L
→ (rwT/log2)≦rwT+L → rwT(1/log2-1)≦L
→ T≦L/{rw(1/log2-1)}

また、到達距離は①から
 La → 2rwT/log2
に収束。
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←補足(05/31 10:32)


回答の付いた質問の話題を変えるのは、いただけない。
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(亀の位置) = L + rωt,


(アキレスの位置) = ρωt,
ρ = (2r)(1/2)^(t/T)
ですね。時刻 t=0 にアキレスがいる場所を位置 0 としています。

v = rω,
k = (log 2)/T,
f(t) = (亀の位置) - (アキレスの位置)
と置くと、
f(t) = L + vt - 2vt e^(-kt),
f’(t) = 0 + v - 2v e^(-kt) - 2vt e^(-kt)・(-k)
  = v{ 1 + 2e^(-kt)・(-1 + kt) },
f”(t) = v{ 0 + 2e^(-kt)・(-k)・(-1 + kt) + 2e^(-kt)・k }
  = 2ve^(-kt)・{ (-k)(-1 + kt) + k }
  = 2vke^(-kt)・(2 - kt).
となります。
得たいのは、t ≧ 0 で f(t) > 0 となるような r,ω,T,L の条件です。

f’の増減表を書くと
t  0    2/k
f”   +  0   -
f’  増加 極大 減少

f’(0) = -v < 0,
f’(2/k) = v(1 + 2/e^2) > 0,
f’(∞) = v > 0
なので、0 < c < 2/k の範囲に ←[0]
f’(c) = 0 となる c があって、

f の増減表は
t  0    c
f’   -  0   +
f   減少 極小 増大

f の最小値は f(c) です。

0 = f’(c) = v{ 1 + 2e^(-kc)・(-1 + kc) } の下で ←[1]
0 < f(c) = L + vc - 2vc e^(-kc) となる ←[2]
条件を求めればよいことになります。

[1][2] から e^(-kc) を消去すると c の二次不等式になるので、
陽に解くことができて、[0] も加味すると
1/k - L/(2v) + √{ 1/k^2 + (L/(2v))^2 } < c < 2/k.
この範囲の c でf'(c) は増加だから、
f'(1/k - L/(2v) + √{ 1/k^2 + (L/(2v))^2 }) < 0 が答えです。←[3]

[3] から v,k を消去して r,ω,T の関係式にすれば完了ですが、
相当複雑な式になって、式が得られたから何なの?という感じはします。
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>TをL、r、ωから解析的に導くのはたぶん無理。


これは間違いでした。簡単に求まりますね。申し訳ない。
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t=Tの時点で追いついてないともう追い付けませんから


L+rωT>∫[0→T]2rω2^(-t/T)dt
なら追い付けない。
シンプルな積分の問題。
ただし、T、r、ωからLを求めるのは簡単だが
TをL、r、ωから解析的に導くのはたぶん無理。
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