x^3+y^3=1を陰関数を使って、点(1、0)、接線の方程式を求めなさいという問題で、 y‘=-f

x^3+y^3=1を陰関数を使って、点(1、0)、接線の方程式を求めなさいという問題で、
y‘=-fx/fyであることから

y’=-x^2/y^2となったのですが　座標を入れるとyの方が0になっておかしくなってしまいます。

アプローチはどう書ければいいのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/03 14:43

y’ つか dy/dx を考えようとしたことが間違い。

x^3 + y^3 = 1 よりも見慣れた曲線
x^2 + y^2 = 1 の 点(1,0)で接する接線の式だって、
dy/dx の値を求めて立式することはできないでしょう？

曲線 x^3 + y^3 = 1 に何らかのパラメータ s を入れて
x^3 + y^3 = 1 をその s で微分すると、
(3x^2)(dx/dt) + (3y^2)(dy/dｔ) = 0.

これは 3(x^2,y^2)・(dx/dt,dy/dt) = 0 より
(dx/dt,dy/dt) ⊥ (x^2,y^2) ってことで、
(x^2,y^2) が x^3 + y^3 = 1 の (x,y) における法線ベクトルだと判ります。

ってことは、x^3 + y^3 = 1 上の点 (x,y) = (a,b) における接線の式は
(a^2,b^2)・(x-a,y-b) = 0.
変形して、(a^2)x + (b^2)y = 1 になります。
(a,b) = (1,0) なら、x = 1 です。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/03 10:20

どうしてもと言われても、x=1 を通る dx/dy=0 の直線は

　x=1

つまり
　dx/dy=0 → x=C → C=1

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/03 06:12

fy=0, fx=3 なので dx/dy=0 だから接線は

　x=1

この回答へのお礼

すいません。お手数ですが、なぜ接線がx=1なのかも教えて頂きたいです。

お礼日時：2023/07/03 08:54