無限等比級数の収束条件について質問です

初項:x - 4 公比:x / 2x - 4の無限等比級数の収束条件について調べる問題です。
無限等比級数の収束条件は初項が0もしくは -1 < 公比 < 1となることなので、
x - 4 = 0 と -1 < x / 2x - 4 < 1を解きました。
すると、x = 4　と　x > 4, x > 4 / 3が出てきたのですが、解答は x = 4, x < 4 / 3, 4 < xとなっています。
なぜ解答はx < 4 / 3となっているのかがわかりません。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/11 11:15

x/2x-4=(x/2x)-4=1/2-4=-7/2

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/10 14:32

不等式の解き方に誤りがあるのでしょうね

場合分けするか
以下のようにしてみては…

例
-1＜A＜1は |A|＜1と同じことだから
解くべき不等式を
|x/2x-4|＜1に書き直す
正の数同士の大小関係は二乗してもかわらないから、両辺二乗すると
x²/(2x-4)²＜1
整理して因数分解して
0＜(3x-4)(x-4)
これを解いて
x＜4/3または4＜x

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/10 09:50

等比級数というよりも、不等式についての質問ですね。

-1 < x/(2x - 4) < 1 を解く時、分母を払うには
分母の正負で場合分けする必要があります。

2x - 4 > 0 すなわち x > 2 の場合、
-1 < x/(2x - 4) < 1 は -(2x - 4) < x < 2x - 4 になるので
4/3 < x かつ 4 < x.

2x - 4 < 0 すなわち x < 2 の場合、
-1 < x/(2x - 4) < 1 は -(2x - 4) > x > 2x - 4 になるので　←[＊]
x < 4/3 かつ x < 4.

まとめると、不等式の解は
{ x > 2 かつ (4/3 < x かつ 4 < x) } または
{ x < 2 かつ (x < 4/3 かつ x < 4) } で、すなわち
x < 4/3 または x > 4.

これと、初項 = 0 から出る x = 4 を併せると、
問題の答えは x < 4/3 または x ≧ 4.

あなたの間違いは、[＊]をスルーしたことにあります。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/12/10 08:41

1.

公比から　x≠2

2.
　x=4・・・・①
の時は初項が0だから、収束する。

3.
　|x/(2x-4)|<1 → |x|<|2x-4|
・x≧2のとき
　x<2x-4 → x>4
条件と合わせて、x>4・・・・・②

・0≦x<2のとき
　x<-(2x-4) → x<4/3
条件とあわせて
　0≦x<4/3・・・・・・③

・x<0のとき
　-x<-(2x-4) → x<4
条件と合わせて
　x<0・・・・・・・④

4.
以上をまとめると

①②から　x≧4
③④から　x<4/3

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/12/10 08:39

-1 < x / 2x - 4 < 1

というのは
　　-1 < x / 2x - 4 かつ x / 2x - 4< 1
という意味だから。