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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「x=aの近くで」は|x-a|<<1(|x-a|<ε(小さな正数))ということです。
テイラー展開では(x-a)のべき乗で展開することを意味し
f(x)=a(0)+a(1)(x-a)+ … +a(n)(x-a)^n + …
ここでa(n)=f^(n)(a)/n!
とべき乗展開したとき、
f(x)をn項で打ち切っても|x-a|<<1であれば
f(x)~a(0)+a(1)(x-a)+ … +a(n)(x-a)^n
と近似しても、非常に良い近似式になる。つまり近似精度がよいことを意味します。
x=aの近くでなくてx=aから遠くなるにつれ、n項打ち切りの近似式の精度が悪化し近似誤差が大きくなります。
逆に言えば、x=aから遠くなるにつれf(x)のテイラー展開の収束が悪くなる(挙句は発散する)ことになりかねません。
なので、テイラー展開は「x=aの近くで」という表現ではより少ない項の和で近似してもf(a)の良い近似値が得られる。そのためのべき級数展開がテイラー展開ということです。
なお、テイラー展開が収束する「x=aの近くで」の範囲の上限が収束半径Rと呼ばれています(|x-a|<R)。
お分かりになりましたでしょうか?
No.2
- 回答日時:
教科書で「べき級数」についての説明を読み直し、
「収束半径」とは何かを確認しましょう。
一般に、複素数列 a(n) に対し、実数 R があって、
|z|<R のとき、べき級数 Σ a(n) zのn乗 は
一様絶対収束します。
与えられた べき級数に対して、このような R の
最大値を「収束半径」と言います。
テイラー展開も、
べき級数ですから、収束半径を持ちます。
テイラー展開は、収束する場合には、もとの関数に
一致する というのが、テイラー展開の理論です。
質問の「x=a の近くで」というのは、
|x-a|<R のことを指しているのです。
x と 1 との大小関係や、主観的に小さいか
どうかは、関係がありません。
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