高一数学 式と証明〔 授業プリント No.11 〕 （1）です。なぜいきなりこのような（青でラインが

高一数学
式と証明〔 授業プリント No.11 〕
（1）です。なぜいきなりこのような（青でラインが引いてあるからところ）式になるのでしょうか？(>_<。)
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/01/20 15:12

問題の式を 展開して a で整理しただけです。

x³+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3=0
x³+ax²-x²+ax-3x-2a+3=0
ax²+ax-2a+x³-x²-3x+3=0
(x²+x-2)a+x³-x²-3x+3=0

未知数が 複数ある時は、次数の低いもので
整理するのが 常套手段です。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/20 15:00

場合分けでゴチャゴチャしない簡潔な解法としては、

f(x) = 0 の重根は f(x) = f’(x) = 0 の解である
ことを使う方法があります。
f(x) と f’(x) の多項式としての最大公約数は x の１次式
になりますから、簡単に解くことができ、
重根があるとすれば x = (aの入った式) である
という a の式が求まります。
これを f’(x) = 0 へ代入すれば、
f(x) = 0 が重根を持つための a の条件が
a の方程式として得られます。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/20 14:56

青線の式は、問題の３次方程式の左辺 x^3 + (a-1)x^2 + (a-3)x -2a + 3 を

a の１次式として整理したものです。

x^3 + (a-1)x^2 + (a-3)x -2a + 3 を因数分解しようとしてやってみたのでしょう。
変数を複数持つ多項式を因数分解するときの基本は、
まず、次数の低い変数の多項式として整理し
その各次の係数から共通因数を見つけることです。
今回の多項式は a については１次式で、
１次の係数が x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1),
a についての定数項が x^3 - x^2 - 3x + 3 = (x-1)(x^2 + ax + 2a -3) です。
ここから共通因数 (x-1) を見つけて
x^3 + (a-1)x^2 + (a-3)x -2a + 3 = (x-1){ (x+2)a + (x^2 + ax + 2a -3) }
と因数分解できます。
こうして、３次方程式のひとつの解 x = 1 が発見できました。
写真の解答は、それ以降、x = 1 が解であることを利用して場合分けを行っています。

x^3 + (a-1)x^2 + (a-3)x -2a + 3 = 0 の式を睨んだだけで、直感で
x = 1 が解であることを発見できる人には、上記の手間は必要ありません。