え整数の各桁をに錠してたすのをくりかえしたら

1か４のループになるののって数論的に示されてますか？
それつかって早いひとがいたんですけどどうやって知ったんですか？？

Happy number
https://en.wikipedia.org/wiki/Happy_number

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/02 13:42

何言ってんのか判らなかったのですが、

リンク先を見たら解りました。
自然数の各桁の数字を２乗して足すんですね。

n桁の自然数の場合、それを行うと
(9^2)n 以下の数になりますから、
n≧3 なら少なくとも桁は増えません。

n桁以下の自然数から出発すると、
10^n - 1 回目以内には同じ自然数が出てくるので
そこからループするわけです。

ループに 1 か 4 が登場するとは限りません。
例えば 2 から出発すると
2 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 51 → 26 → 40 → 16
となりますが、
16 や 37 から出発するループには １ も 4 も現れませんね？

この回答へのお礼

145のつぎは
42でそのつぎに
20でよんになるとおもいます。。

お礼日時：2024/04/02 18:12

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/03 14:07

No.2 つづき：

1回の漸化で桁数まで減るのは n≧4 の場合ですが、
n=3 では漸化後の自然数はもとの自然数より小さい
ことが言えます。よって、3桁の自然数は、
漸化を繰り返せばいつかは２桁になることが判ります。

実験してループを確認するのは、２桁以下の初期値
から始める場合だけで十分でしたね。
(その場合、途中３桁も一部経由するけれども。)

この回答へのお礼

なるほど。桁数が減るのから一っていまでまでをみればいいんてことですか？
でもそれは普通に計算するしかないですね。

お礼日時：2024/04/11 12:56

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/02 18:53

＞ 145のつぎは

＞ 42でそのつぎに
＞ 20でよんになるとおもいます。

あ、ほんとだ。
2 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
だね。これは計算間違い。

n桁の自然数に対して、自然数の各桁の数字を２乗して足したものは
最大値が (9^2)n だから、n≧4 では必ず1回漸化したら桁数が減る。
3桁以下の自然数が皆 1 か 4 のループに入ることを確かめればいいが、
そのくらいの実験はパソコンで簡単にできると思う。