ベクトル空間の和空間の質問

和空間の元は、必ずもともとのベクトル空間のいずれかの元であるということでしょうか？
だとすると、R^3の標準基底をそれぞれ基底にもつ1次元の空間の和空間の場合に成り立たなそうですが…

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/12 02:24

まず和空間と和集合をごっちゃにするのを

どうにかしよう。記号が違うでしょ？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/12 01:44

写真が文章の一部を切り取っていて、

しかも写真のどの部分について質問しているのか書いてないので、
何をたずねているのかサッパリ判らない。
そういう雑なモノの考え方をしているから
本を読んでも内容が理解できないのではないだろうか？

とりあえず、写真の前半の文章には
和空間 W1 + W2 に関する記述はないし、
後半の [4] では
a ∈ W1 だとも a ∈ W2 だとも言ってない。
＞ 和空間の元は、必ずもともとのベクトル空間のいずれかの元である
という主張は、写真の文章には書かれていない。

ベクトル空間 W1 と W2 の和空間 W1+W2 は、
W1 + W2 = { x1+x2 ｜ x1 ∈ W1, x2 ∈ W2 } で定義され、
和集合 W1 ∪ W2 とは別のものだ。

写真の前半は、W1 ∪ W2 がベクトル空間ならば
W1 ⊂ W2 または W2 ⊂ W1 だと言っている。
この結論は、
W1, W2 が共通のベクトル空間 V の部分空間だというだけでは
一般には W1 ∪ W2 がベクトル空間とは限らないこと,
W1 + W2 と W1 ∩ W2 は必ずベクトル空間になること,
W1 と W2 は W1 + W2 の部分空間であること,
W1 ∩ W2 は W1 や W2 の部分空間であること
とあわせて理解しておいたほうがいい。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/11 21:15

W1∪W2　は　和集合であって、和空間ではありません

W1とW2　が　Vの部分空間のとき

W1∪W2 は　通常は　Vの部分空間とはならないけれども

W1∪W2 も　Vの部分空間となるときは

W1⊂W2
または
W2⊂W1
の
どちらかが成り立つときに限るということです