数学の反例について。 P⇒Qの反例を上げた場合、P∩¬Qとなりますよね？ 反例が成立した時に、¬P⇒

数学の反例について。

P⇒Qの反例を上げた場合、P∩¬Qとなりますよね？

反例が成立した時に、¬P⇒¬Q(もしくはその待遇であるQ⇒P)は成立するのですか？

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/19 19:25

そう。

それでいい。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/06/19 17:45

> P⇒Qの反例

なんてものはそもそもありません。「反例」という概念（言葉）が意味を持つのは、述語論理における
　　∀x R(x)
すなわち、「任意のxについて、R(x)である。」という形の命題においてだけです。そして、この命題の「反例」とは「 R(a)が偽であるようなa」のことです。

　述語R(x)がP(x)⇒Q(x)という構造になっている場合に限っても同じことで、
　　　∀x (P(x)⇒Q(x))
の反例は、「P(a)⇒Q(a)が偽であるようなa」です。P(a)⇒Q(a)を言い換えれば ¬(P(a)∧(¬Q(a)))ですので、「P(a)⇒Q(a)が偽」は「P(a)∧(¬Q(a))」と同義です。つまり「P(a)が真で、かつ、Q(a)が偽であるようなa」ってことですね。


　なお、

> 反例が成立

がどういう意味なのかはわかりかねますが、
　　　∀x (P(x)⇒Q(x))
の反例aが見つかった場合、というオツモリなのだろうと考えることにして、

> ¬P⇒¬Q(もしくはその待遇であるQ⇒P)は成立するのですか？

（「待遇」を「対偶」と読み替えたとして、）そんなことは言えません。

　例えば命題
　　∀x (xは素数である ⇒ xは奇数である）
の反例として、 反例 x = 2 が挙げられます。これは命題
　　∃x (xは素数である ∧ ¬(xは奇数である)) 「素数であって、かつ奇数でないxが存在する」
が真だと証明している。だから、この命題の否定である命題
　　∀x (xは素数である ⇒ xは奇数である）
が偽であることの証明になっているわけです。

　しかし、
　　∀x (xは奇数でない ⇒ xは素数でない）
も
　　∀x (xは奇数である ⇒ xは素数である）
も
　　∀x (xは素数でない ⇒ xは奇数でない）
も偽です。

No.4 回答者： cage64 回答日時： 2024/06/19 17:29

P⇒Q

のP,Qは何ですか？
「反例」というからには条件であって、正確には
すべてのxについて、P(x)⇒Q(x)
(記号で書けば ∀x(P(x)⇒Q(x))
の反例、のことでしょう。つまり、
P(a)∧￢Q(a)
を満たすaが反例です。

このaについて、
P(a)が真だから￢P(a)は偽なので、
￢P(a)⇒￢Q(a)は成り立ちます（￢P(a)⇒任意の命題 も成り立ちます）。
同様に、Q(a)が偽だから、
Q(a)⇒P(a)
も成り立ちます。
ここのP(a)とかQ(a)はP(x)やQ(x)のxにaを代入した命題であって、条件ではありません。

一方、P,Qが条件の時、高校数学で
¬P⇒¬Q
と書けば、これは
すべてのxについて (¬P(x)⇒¬Q(x))
の意味であり、こちらは成立するとは限りません。

mtrajcpさんの例なら、
2が３の倍数である⇒ 2は２の倍数である
は正しい命題です（仮定「２は３の倍数である」は偽だし、結論も真だから）が、
すべての整数xについて、xが３の倍数⇒xは２の倍数
は誤りです。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/19 15:51

P=[xは2の倍数である]

Q=[xは3の倍数である]
とすると
P⇒Q
の反例は
x=2

P∩¬Q
は
P⇒Qの否定

¬P⇒¬Q(もしくはその対偶であるQ⇒P)
の反例は
x=3

だから
¬P⇒¬Q
も
Q⇒P
も
成立しない

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/19 13:54

＞ 反例が成立した時に、¬P⇒¬Q は成立するのですか？

しません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/19 13:52

P∩¬Q は P⇒Q の「否定」であって「反例」ではありません。

述語 P(x) または命題 ∀x,P(x) の「反例」とは、
¬Ｐ(y) が真になるような y の値のことを言います。

P(y)∩¬Q(y) が真になるような y をひとつ見つけたとすれば、
それは命題 ∀x,P(x)⇒Q(x) の反例にはなっています。