No.4
- 回答日時:
[1] nを素因数分解すると
n = Π{k = 1〜m} (p[k]^q[k])
だとしましょう。ただしp[1], p[2], …, p[m]は互いに異なる素数、q[1], q[2], …, q[m]は1以上の整数、Πは乗積の記号です。nの(正の)約数(1とnを含む)の個数をN(n)としますと、
N(n) = Π{k = 1~m}(q[k] + 1)
以下では {k = 1~m} というところは略して書くことにします。
[2] さて、
N(n) ≧ √(3n)
であるようなnとは、すなわち
(N(n'))² ≧ 3n
であるようなnであり、代入すれば
Π(q[k] + 1)² ≧ 3Π(p[k]^q[k]) …(1)
ですけど、そういう(p, q)を見つけたいわけです。でも、そんなnが、もしかして無限個あったりはしないでしょうか。
[2a] (1)が成り立っていないとき、すなわち
Π(q[k] + 1)² < 3Π(p[k]^q[k])
であるとき、p[j] (jは1〜mのうちのどれか)を1だけ大きな値
p'[j] = p[j] + 1
に変えたものをn'とすると、nに比べて左辺右辺はそれぞれ何倍になるか。n'はどんな時に(1)を満たす可能性があるか。
[2b](1)が成り立っていないとき、q[j] (jは1~mのうちのどれか)を1だけ大きな値
q'[j] = q[j] + 1
に変えたものをn'とすると、nに比べて左辺右辺はそれぞれ何倍になるか。n'はどんな時に(1)を満たす可能性があるか。
[2c](1)が成り立っていないとき、n' = r n (rはp[1]~p[m]のどれとも違う素数)にしたら、nに比べて左辺右辺はそれぞれ何倍になるか。n'はどんな時に(1)を満たす可能性があるか。
このあたりを検討すると、(1)を満たすnが無限個あったりはしない、ということやら、(1)を満たす例がどんなものでなくてはならないか、という条件やらがわかる。
[3] で、あとは総当たりだな。ただし、「nが1,2,3, …のとき」という意味での総当たりじゃなくて、小さい順に素数を並べて調べるんですけどね。
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