ラプラス変換の積分法則 の証明 をするには ∫[0→t]f(u)du=g(t)とおくと |g(t)|

ラプラス変換の積分法則 の証明 をするには
∫[0→t]f(u)du=g(t)とおくと
|g(t)| ≦ Me^(αt) となるような定数M、αが存在することを示せば良いのですか？(αは指数位数)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/06 08:47

「ラプラス変換の積分法則 の証明」って、

L[ f(t) ] が収束するならば
L[ ∫f(t)dt ] も収束して L[ ∫f(t)dt ] = (1/s) L[ f(t) ] が成り立つ
ことを示せば良いんじゃないの？

「 |g(t)| ≦ Me^(αt) となるような定数M、αが存在すること」は、
L[ g(t) ] が収束するための十分条件ね。
積分法則の適用条件であって、
積分法則の証明ではない。

積分法則の証明自体は、
∫{ e^(-st) ∫f(t)dt }dtに部分積分を適用するだけ。
簡単だし、１回自分で計算しとけば公式の暗記にも役立つ。↓
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibu …

質問の式にある「 s > max(0,α) 」は、
「 Re(s) > max(0,α) 」の間違いかな。
もっとも、ラプラス変換を使って微分方程式の特殊解を１個得る
目的のためには、変換が収束するような s が在れば十分で、
L[ f(t)+g(t) ] を計算するときに L[ f(t) ] が収束する s と
L[ g(t) ] が収束する s の範囲に共通部分が無い
ようなことにならなければ ok.
たいていの場合、 s の収束域を気にする必要は無いけど。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/09/06 07:05

L[f(t)]が存在するならば、

　　　(a) gが存在する。かつ
　　　(b) L[g(t)]が存在する。かつ
　　　(c) L[g(t)](s) = L[f(t)](s)/s
を言いたいってことでしょう。（しかしs＞max(0,α) ってのは複素数の大小関係？意味わからんですね。）

> 示せば良いのですか　

とおっしゃるところの条件は(b)のところですかね。だから、それだけじゃ足らんということです。